La
geometría es de gran importancia para el estudio de las matemáticas, pues es la
puerta que facilita el conocimiento matemático a partir de modelos gráficos.
En
los cursos de secundaria se pretende que la geometría integre los conocimientos
adquiridos de manera que su estudio no sea el de un tema más, sino una ayuda
durante todo el año para que entiendas y analices otros conocimientos.
Para
ello, es importante que aprendas a observar todo cuanto te rodea y analices las
semejanzas y diferencias que guardan las figuras y los objetos entre sí; esta
observación será de gran ayuda para que hagas dibujos y, de esa forma,
representes gráficamente situaciones reales.
Deberás
aprender a realizar trazos geométricos con la ayuda de los instrumentos
básicos, como son las escuadras el compás y el transportador.
Asimismo,
observación, manipulación de figuras y cuerpos te será de gran utilidad para
entender sus propiedades y aplicarlas en situaciones similares, de modo tal que
propicies la resolución de problemas, no solo de contorno, sino de lugares
cercanos y lejanos. Por ello es conveniente que relaciones las cosas que te
rodean con las formas geométricas que conoces y resuelvas los problemas en el
papel para trasladarlos, posteriormente, a situaciones palpables.
Asi
cuando debas conocer la mejor forma de aprovechar un terreno, trazar canchas
deportivas, conocer la capacidad de un estanque, etc. recordarás que resolviste
problemas teóricos y podrás relacionarlos con lo que en ese momento se te
presente.
Temas
como el teorema de Pitágoras, el dibujo a escala y otros, te ayudarán a
descubrir estrategias para la resolución de problemas. También tendrás la
oportunidad de construir un geoplano que te facilitará la comprensión de
algunos conceptos, así como las semejanzas o diferencias entre las figuras
geométricas.
Por
otra parte, recordarás y aplicarás las formulas sobre perímetro, área y
volumen, que te serán de gran utilidad en la vida práctica, pues con ellas se
puede determinar desde el cercado de un terreno hasta la construcción que sobre
él se realice y la capacidad de dicha construcción.
Por
tanto, debes recordar que la geometría no es solamente un aspecto más de las
matemáticas, sino un artificio que te ayudará a comprender mejor algunos
aspectos del saber humano.
Cuando
se cursa e segundo grado de secundaria, ya se ha estudiado aritmética durante
todos los años anteriores de vida escolar.
Ahora
se estudiará otra rama de las matemáticas que se llama algebra y que es
considerada como una generalización y extensión dela aritmética.
El
conocimiento y uso de los números enteros (positivosnegativos), así como de lenguaje simbólico
que se emplea en la resolución de problemas para representar cantidades desconocidas (x, etc.) y el anejo de las fórmulas en geometría (A = bh, A = ),
sirven como antecedente para introducirse al estudio del álgebra.
La
palara álgebra proviene del árabe, se origina en el vocablo alchebr que significa reducción. Una
forma de definir esta rama de las matemáticas es: “álgebra es una parte de las
matemáticas cuyo objetivos son simplificar y generalizar las cuestiones
relativas a los números”.
Para
lograr sus objetivos, el álgebra requiere de un lenguaje especial que se conoce
como lenguaje algebraico.
En
el lenguaje algebraico se utilizan símbolos que generalmente son letras del
alfabeto, a los cuales se les da el nombre de literales y cuyo valor puede ser
desconocido y/o variable, según la situación de que se trate.
Ejemplo:
la edad de pedro es el doble de la edad de Juan
En
el lenguaje algebraico, como no se conoce la edad de ninguno de los dos, se
puede representar cualquiera de las edades con una literal y la representación
de la otra dependerá de cual se haya escogido como base para la representación
simbólica.
Edad
de juan: x
Edad
de pedro: (doble de la edad de juan): 2x
O
bien,
Edad
de pedro: x
Edad
de juan: (mitad de la edad de pedro):
Puede
afirmarse que el lenguaje simbólico propio del algebra expresa relaciones entre
cantidades. A esta representación simbólica se le llama también notación
literal.
También
puede decirse que el álgebra estudia la serie ordenada de operaciones que deben
efectuarse con las cantidades, para obtener por medio de ellas, otras
desconocidas.
El
progreso que se logre en el aprendizaje del algebra hará que cada vez se
realice mejor el planteamiento y solución de problemas. Lo cual requerirá que
se empleen conocimientos adquiridos con anterioridad y tratará de hacer más
accesible la compresión de nuevos procedimientos.
El
contenido del algebra en el programa de matemáticas en telesecundaria es el
siguiente:
1.-
iniciación del lenguaje algebraico.
2.-
monomios y polinomios.
3.-
el plano cartesiano.
4.-
ecuaciones lineales de primer grado.
5.-
sistema de ecuaciones lineales.
Es
importante considerar que el álgebra ha sido, durante muchos años, uno de los
temas centrales de la enseñanza de las matemáticas en la secundaria.
Cabe
insistir, pues, en la importancia que tiene dentro del aprendizaje de las
matemáticas, en el hecho de que los estudiantes aprendan a resolver problemas
utilizando el lenguaje y los procedimientos del álgebra.
Esto
hace resaltar la necesidad de que se utilice un leguaje preciso en forma
constante y se evite la memorización.
Desde
luego que aquí seguirá siendo de gran utilidad la calculadora de bolsillo. Por
ejemplo, en la tabulación, en la verificación de resultados, etc.
Algo
que se debe tomar en cuenta es que en la secundaria y el bachillerato se
cursaran materias como física, química, estadística, probabilidad, cálculo,
etc.; que requieren de conocimientos de matemáticas y en particular un uso
adecuado y funcional del álgebra.
Una
deficiente preparación en esta área del conocimiento, trae como consecuencia
que muchos alumnos repiten algunas materiasincluso se den de baja.
Sin
embargo, los conocimientos del álgebra que se deben adquirir en la secundaria
están al alcance de cualquier alumno que se dedique con empeño y constancia al
aprendizaje de esta fascinante rama de las matemáticas.
Supongo que a alguno le ha pasado que mientras duerme después de estar tratando de resolver algún problema díficil se va a la cama resignado y frustrado por no haberlo podido resolver.
Esto me recordó mucho a lo que un muy buen profe que tenemos comentó eso mismo de resolver su problema en un sueño y pues creo que a muchos nos ha funcionado en ocaciones hasta sin querer.
los sueños son siempre “muy visuales” y contienen una línea argumental casi siempre ilógica, pero resulta que el sueño es en realidad otra forma del pensamiento, una que tiene lugar en un estado diferente a cuando estamos despiertos.
Aunque estemos soñando, seguimos trabajando para resolver los mismos
problemas que nos acosan cuando estamos con los ojos abiertos. En
resumen, pensar estando dormidos es diferente a hacerlo estando
despiertos, por lo que los sueños proporcionarían una forma diferente -y
a menudo efectiva- de encarar los problemas.
¿Cuál es la ecuación matemática más hermosa del mundo?
Las ecuaciones matemáticas representan algunas de las leyes más complejas que gobiernan el Universo y todo lo que hay en ello.
Se necesita años de experiencia para entender las ecuaciones más profundas y muchas de ellas son tan complejas que son difíciles de traducir a un lenguaje normal.
Sin embargo, esto no significa que no podamos apreciar su belleza.
BBC Earth les preguntó a matemáticos y físicos por las ecuaciones que ellos piensan son las más bonitas.
Aquí presentamos las 12 que los expertos prefieren. ¿Coincides con ellos?
La ecuación de Dirac
"Estéticamente es elegante y simple", comenta Jim Al-Khalili de la universidad de Surrey en el Reino Unido.
"Es una ecuación muy poderosa por lo que significa y su papel en la historia de la física del siglo XX".
La ecuación fue descubierta a finales de los años 20 por el físico Paul Dirac, yjuntó dos de las ideas más importantes de la ciencia: la mecánica cuántica, que describe el comportamiento de objetos muy pequeños; y la teoría especial de Einstein de la relatividad, que describe el comportamiento de objetos en movimiento rápido.
Por lo tanto, la ecuación de Dirac describe cómo las partículas como electrones se comportan cuando viajan a casi la velocidad de la luz.
La fórmula de Riemann
El matemático Bernhard Riemann publicó esta ecuación en 1859.
Permite calcular los números primos por debajo de un número dado.
Por ejemplo, la ecuación de Riemann revela que hay 24 números primos entre 1 y 100.
"Los números primos son los átomos de la aritmética", explica Marcus du Sautoy de la universidad de Oxford.
"Son los números más básicos e importantes en el corazón del mundo de la matemática. Pero sorprendentemente, a pesar de más de 2000 años de investigación, todavía no los entendemos".
Pi
"Siempre le digo a mis estudiantes que si esta fórmula no los sorprende completamente es que sencillamente no tienen alma", señala Chris Budd de la universidad de Bath.
Muchos lectores sabrán de esta famosa ecuación.
Sencillamente describe cómo la circunferencia de un círculo varía con su diámetro.
La relación de los dos es un número llamado pi, que aproximadamente es 3,14, pero no exactamente.
Pi es un número irracional, lo que significa que los dígitos pueden continuar indefinidamente sin que se repitan.
Euler-Lagrange
Esta ecuación se utiliza para analizar todo, desde la forma de una burbuja de jabón a la trayectoria de un cohete alrededor de un agujero negro.
"Más que una ecuación, es una receta para generar una infinita variedad de posibles leyes de física", comenta Andrew Pontzen de la University College London.
A pesar de sus múltiples aplicaciones, la ecuación es "engañosamente corta y simple", agrega Pontzen.
La ecuación de Yang-Baxter
"La ecuación de Yang-Baxter es una ecuación simple que puede ser representada en un dibujo de un niño de dos años", señala Robert Weston de la universidad Heriot-Watt en Edimburgo.
Como la ecuación de Euler-Lagrange, se ve simple pero tiene implicaciones profundas en muchas áreas de la matemática y la física.
Esto incluye cómo se comportan las olas en aguas poco profundas, la interacción de partículas subatómicas, la teoría matemática de nudos y la teoría de las cuerdas.
"Te lo puedes imaginar como estar en el centro de una telaraña", explica Weston. "En las cuerdas de esa red puedes encontrar muchos temas en lo que juega un papel fundamental".
Identidad de Euler
"La mayoría de las matemáticas modernas y físicas derivan del trabajo de Leonhard Euler", aclara Robin Wilson de la Open University del Reino Unido.
Él fue "el matemático más prolífico de todos los tiempos" y el "Mozart de las matemáticas".
Pero a pesar de todos sus logros, "mucha de la autocalificada 'gente educada' nunca ha oído hablar de él".
Su ecuación más famosa es la identidad de Euler, y en ella se pueden vincular las constantes de la matemática.
La ecuación combina cinco de los números más importantes de la matemática. Los cuales son:
1 – la base de todos los números
0 – el concepto de la nada
pi – el número que define al círculo
e – el número que subraya el crecimiento exponencial
i – la raíz cuadrada "imaginaria" de -1
Todos los números tienen aplicaciones prácticas, incluida para la comunicación, navegación, energía, fabricación, finanzas, meteorología y medicina.
Pero eso no es todo: la identidad de Euler también tiene tres de las operaciones matemáticas más básicas: suma, resta y exponenciación.
La ecuación de la onda
"La belleza de la ecuación de la onda se manifiesta de muchas formas", explica Ian Stewart de la universidad de Warwick del Reino Unido.
"Es matemáticamente simple y elegante y tiene una interesante variedad de soluciones con agradables características matemáticas".
La ecuación de onda describe cómo se propagan las ondas.
Se aplica a todo tipo de ondas, desde las de agua a las de sonido y vibraciones. Incluso a las ondas de luz y radio.
Teorema de Bayes
Esta ecuación fue desarrollada por primera vez por el reverendo Thomas Bayes en el 1700.
Calcula la probabilidad que un evento (A) sea real, dado que otro evento (B) también lo es.
Tiene muchos usos, como para detectar fallas de vigilancia, defensa militar, operaciones de búsqueda y rescate, en escáneres médicos en incluso para filtros de correos electrónicos no deseados.
"Su belleza destaca porque subyace en el pensamiento racional y la toma de decisiones, más que por cualquier aspecto estético intrínseco", comenta David Percy, de la universidad de Salford, quien no pudo decidirse entre Bayes y la identidad de Euler.
Ecuación del campo de Einstein
La primera vez que Albert Einstein habló de su teoría general de la relatividad fue en 1915, y al año siguiente se publicó.
Él la resumía en una ecuación, que de hecho es el sumario de diez ecuaciones.
Katie Mack, de la universidad de Melbourne en Australia, explica que estas fórmulas cambiaron completamente cómo entendemos la naturaleza y evolución del Universo.
"Lo fundamental de este nuevo punto de vista es que la idea de espacio-tiempo, el tejido básico de la realidad, es maleable", agrega.
La relatividad general ofreció una nueva visión de cómo funciona la gravedad.
En vez de objetos masivos ejerciendo una atracción en otros objetos, estos distorsionan el espacio y tiempo alrededor de ellos.
La ecuación de Einstein nos puede decir cómo nuestro universo ha cambiado con el tiempo, y ofrece un vistazo de los primeros momentos de la creación.
No extraña que sea la ecuación favorita de muchos matemáticos.
Aplicación logística
La aplicación logística es uno de los ejemplos clásicos de la teoría del caos.
"Puede ser resumida de la siguiente forma: la gran complejidad puede surgir de reglas muy sencillas", comenta Olalla Castro Alvaredo de la City University de Londres.
La ecuación puede ser usada para modelar muchos procesos naturales, como el crecimiento o la disminución de una población de animales con el tiempo.
La forma en la que se comporta una población termina siendo enormemente sensible al valor de r, de manera contraintuitiva.
Si r está entre 0 y 1, la población siempre morirá. Pero si está entre 1 y 3, la población llegará a un valor fijo –y si está por encima de 3.56995, la población se convierte ampliamente impredecible.
Estos comportamientos son descritos como "caóticos" por los matemáticos, y no son los que instintivamente deberíamos esperar.
Pero todas emergen de una fórmula que matemáticamente es bastante simple.
Una simple progresión aritmética
Una progresión aritmética es simplemente una secuencia de números separados por la misma cantidad.
Por ejemplo, 6, 8, 10, 12, 14 y 16 es una progresión aritmética cuya diferencia es 2.
"Muchas de las cosas que consideramos hermosas de deben a la misma simétrica, reduciendo el trabajo que necesitamos para entenderlas", dice Benjamin Doyon del King’s College de Londres en el Reino Unido.
"Quizás nuestro cerebro es feliz al hacer menos trabajo, creando una sensación positiva de belleza".
Fórmula cuaternión
Famosamente tallada en un puente de piedra por el matemático irlandés William Rowan Hamilton, esta ecuación describe cómo trabajar con números complejos que incluyen raíces cuadradas de números negativos
Esta ecuación, establecida por William Rowan Hamilton, es fundamental para una rama oscura de la matemática llamada álgebra cuaternión.
"La historia es que Hamilton dio con esta ecuación mientras caminaba en Dublín y la talló en un puente en un acto de triunfo", cuenta Chris Budd de la universidad de Bath.
En la actualidad, el álgebra cuaternión es básica en la industria de la computación gráfica.
Se utiliza para describir la orientación de los objetos en la pantalla.
