Matemáticas CEUJA 2015: José Daniel Juárez Espino

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miércoles, 27 de enero de 2016

SI PARTIMOS DE ALGO FALSO PODEMOS DEMOSTRAR CUALQUIER COSA

Una de las anécdotas más conocidas de las que se asocian con el filósofo y matemático Bertrand Russell es su famosa demostración de que “Si 2+2=5, entonces yo soy el Papa”. Parece ser que la historia ocurrió tal que así:

Estaba Bertrand Russell dando una charla sobre sistemas lógicos cuando afirmó que si se partía de una premisa falsa, entonces se podía demostrar cualquier cosa. Una de las personas que estaba escuchando le preguntó:

– Entonces, ¿si suponemos cierto que 2+2=5, entonces puede demostrar que usted es el Papa?

A lo que Russell contesto afirmativamente, demostrándolo de la siguiente forma:

– Supongamos que 2+2=5. Entonces, restando 3 a ambos lados obtenemos que 1=2. Como el Papa y yo somos dos personas y 1=2, entonces el Papa y yo somos uno. Por tanto, yo soy el Papa.

Sublime, como casi siempre, el señor Russell.

Estaba Bertrand Russell dando una charla sobre sistemas lógicos cuando afirmó que si se partía de una premisa falsa, entonces se podía demostrar cualquier cosa. Una de las personas que estaba escuchando le preguntó:

– Entonces, ¿si suponemos cierto que 2+2=5, entonces puede demostrar que usted es el Papa?

A lo que Russell contesto afirmativamente, demostrándolo de la siguiente forma:

– Supongamos que 2+2=5. Entonces, restando 3 a ambos lados obtenemos que 1=2. Como el Papa y yo somos dos personas y 1=2, entonces el Papa y yo somos uno. Por tanto, yo soy el Papa.

Sublime, como casi siempre, el señor Russell.

La cuestión es la siguiente: ¿cómo podríamos escribir esta características en términos de la lógica clásica? Es decir,¿hay alguna forma de demostrar mediante la lógica clásica que si añadimos a un sistema lógico una premisa falsa entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa? Pues sí, claro que la hay. Vamos a verla.

Pero antes vamos a recordar un par de cuestiones de Lógica relacionadas con la conjunción y la disyunción.

La conjunción, $\land$ , es una conectiva cuyo significado es “y”. Es decir, dadas dos proposiciones $A,B$ la proposición $A \land B$ se lee A y B. Es sencillo ver a partir de esto que el hecho de que $A \land B$ sea cierta es equivalente a que lo sean tanto $A$ como $B$ por separado. Por ello, si partimos de que $A \land B$ es cierta, podemos usar la regla denominada “eliminación de la conjunción” y quedarnos con cualquiera de las dos proposiciones iniciales.

Por otra parte, la disyunción, $\lor$ , es una conectiva cuyo significado es una “o” no exclusiva. Es decir, dadas dos proposiciones $A, B$ , la proposición $A \lor B$ se lee A o B, y significa que el hecho de que $A \lor B$ sea cierta equivale a que lo sea $A$ , lo sea $B$ o lo sean las dos (por lo de que no es exclusiva). En consecuencia, si partimos de que una cierta proposición $A$ es cierta, se puede usar la regla denominada “introducción de la disyunción” y formar con ella la disyunción entre $A$ y cualquier otra proposición que queramos introducir.

Explicado esto ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar que si introducimos una premisa falsa en nuestro sistema podemos demostrar cualquier cosa. Si una proposición $A$ es cierta, entonces su negación, $\lnot A$ , es falsa. Lo que vamos a demostrar es que si para una proposición $A$ cualquiera tomamos ciertas tanto a dicha proposición como a su negación (es decir, tomamos cierta la conjunción $A \land \lnot A$ ), entonces es cierta cualquier otra proposición $B$ :

Partimos de

(1) $A \land \lnot A$

De ahí obtenemos

(2) $A$

por eliminación de la conjunción en (1). De aquí obtenemos

(3) $A \lor B$

por introducción de la disyunción en (2). Ahora, también tenemos que es cierta

(4) $\lnot A$

por eliminación de la conjunción en (1). Y ahora, como (3) nos dice que o es cierta $A$ , o lo es $B$ o lo son las dos, y, por otro lado, (4) nos dice que es cierto $\lnot A$ , la consecuencia que sacamos es que es cierta

(5) $B$

Por tanto, si añadimos una premisa falsa a nuestro sistema lógico entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa.

La regla que se ha usado para obtener (5) se denomina “silogismo disyuntivo”, y dice que si son ciertas $p \lor q$ y $\lnot p$ entonces debe ser cierta $q$ .

Ah, y quiero destacar que en Gaussianos ya se había comentado esta anécdota de Russell en este comentario deAsier hace ya unos años.

martes, 19 de enero de 2016

LA CIRCUNFERENCIA DE CONWAY

En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultados preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso, en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.

Partimos de un triángulo cualquiera, como éste:

Ahora desde cada vértice prolongamos los lados que se cortan en él con un segmento cuya longitud sea igual al lado opuesto de dicho vértice:

Bien, pues lo que asegura el Teorema de Conway es lo siguiente:

"Los seis puntos en los que terminan cada uno de los segmentos prolongados de la manera comentada anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en la misma circunferencia".

Efectivamente, al unir los puntos K, I, N, R, Q y F; podemos visualizar este resultado:

Maravilloso ¿no?, pero ¿por qué se conoce como circunferencia de Conway?

Porque fue el propio John Horton Conway quien estrenó un subforo de MathForum proponiendo este mismo problema, y para honrar este bonito resultado, la comunidad matemática le dio el honor que se merecía.

lunes, 18 de enero de 2016

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

Hola compañeros, les comparto un video muy interesante:

Esta entrega en lo personal me ha gustado mucho, creo que el ejemplo que utiliza Raúl es muy bueno para que todo el mundo se pueda hacer una idea de lo que significa el crecimiento exponencial. Estoy convencido de que más de uno se habrá sorprendido bastante con el tamaño que alcanzaría el papel después de doblarlo solamente 20 veces…

ECHEGARAY Y LA TRASCENDENCIA DE PI

Pocas deberían ser las personas que no conozcan a José Echegaray, dada la gran importancia que tuvo en disciplinas tan dispares como las matemáticas y la literatura. Premio Nobel de Literatura en 1904 (compartido conFrédéric Mistral) y primer Presidente de la Real Sociedad Matemática Española (Sociedad Matemática Española en aquella época), fue una de las grandes figuras españolas de las ciencias y las letras de finales del siglo XIX y principios del XX. Hoy homenajearemos a este gran personaje hablando de una de sus principales contribuciones a las matemáticas en España.

Aunque la importancia de su papel en el desarrollo de las ciencias en general, y de la Física y las Matemáticas en particular, en la segunda mitad del siglo XIX y los principios del XX está fuera de toda duda, parece que ser que Echegaray no fue, en general, un matemático creativo. Lo que sí hizo fue introducir en España muchos de los avances matemáticos que se estaban produciendo en aquella época en otros países, como el cálculo de variaciones, la teoría de Galois o las funciones elípticas.

Este blog se refiere al conocidísimo problema de la cuadratura del círculo, que, está íntimamente relacionada con la trascendencia del número Pi.

La demostración de la trascendencia de Pi data de 1882, y fue desarrollada por Ferdinand von Lindemann, pero dicha información no llegó a España hasta unos años después…gracias a Echegaray.

Es la forma en la que esta información llegó al país lo más interesante de esta historia. Echegaray no había tenido acceso a la demostración de Lindemann, sino simplemente a ciertos detalles de la investigación de éste gracias al tomo I de la quinta edición de las Leçons de Geometrie de Rouché y Comberousse.

La cuestión sobre la cuadratura del círculo tenía relativamente preocupados a los matemáticos de la época, principalmente por la imposibilidad de descartar directamente todas las supuestas “demostraciones” de dicho resultado que llegaban a sus manos. Al no conocerse la prueba de la trascendencia del Pi, la única manera de echar por tierra dichas demostraciones falsas era revisarlas para encontrar el error que contenían.

Pero en 1886 Echegaray se encargó de poner solución a este problema. Como comentamos antes, conocía detalles sobre la investigación de Lindemann sobre este resultado pero no había leído la demostración. ¿Qué hizo entonces? ¿Buscar la demostración de Lindemann y ayudar a su publicación en España? Pues no. Cual Goyo Jiménez, se marcó un no lo cuento, lo hago y desarrolló la demostración por su cuenta. Al parecer, Echegaray reconstruyó la demostración que Lindemann había realizado sobre la trascendencia de Pi, y publicó en 1886 un artículo con la misma titulado Sobre la imposibilidad de la cuadratura del círculo en la Revista de los Progresos de las Ciencias. Este trabajo (que, además, abre la obra Disertaciones matemáticas de 1887) se considera uno de los pocos (posiblemente el único) trabajos de investigación realizado por Echegaray en toda su vida, y sirvió para que de una vez por todas se pudieran descartar todas esas demostraciones falsas de este famoso problema clásico…

…aunque por desgracia sigue habiendo mucha gente que continúa estudiando el problema y creyendo que ha conseguido demostrar que la cuadratura del círculo con regla y compás es posible siguiendo las reglas clásicas griegas. Y lo peor no es eso, sino que habitualmente es muy complicado convencer a esas personas de que están equivocados. Una lástima tanto tiempo perdido intentando demostrar que esta construcción es posible cuando en realidad se sabe que no lo es…

viernes, 23 de octubre de 2015

EL PRINCIPIO DEL PALOMAR

Interesante vídeo que encontré compañeros, espero que lo disfruten, habla de algo sencillo y acertado.

Saludos

martes, 20 de octubre de 2015

El hotel de Hilbert

Supongamos que tenemos un hotel con 1000 habitaciones individuales. Y supongamos que la ocupación es del 100%, es decir, todas las habitaciones están ocupadas por una persona. Si en esta situación llega una persona más al hotel pidiendo una habitación no podrá ser hospedada en él. Básicamente esto se debe a que no podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto de las habitaciones del hotel (de tamaño 1000) con el conjunto de personas que tendríamos en ese instante (de tamaño 1001).

El hotel de Hilbert es un poco especial, ya que tiene infinitas habitaciones, una por cada natural positivo. Todas las habitaciones son individuales, por lo que no pueden coincidir dos personas en la misma habitación. Para simplificar un poco la explicación de cada una de las situaciones que vamos a presentar podemos suponer que las habitaciones están dispuestas en línea recta, una al lado de otra, de izquierda a derecha. Por tanto tenemos una primera habitación…pero no tenemos última.

Un huésped más

Supongamos, como antes, que todas las habitaciones del hotel de Hilbert están ocupadas y que en ese momento llega una persona más al hotel buscando una habitación. En la situación anterior no se podía dar cobijo a este nuevo huésped, pero ahora sí. ¿Cómo? Muy sencillo. El gerente del hotel pide a todos los huéspedes que se muden a la habitación de su derecha, es decir, el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, y así sucesivamente. Como no tenemos última habitación todos los ocupantes del hotel siguen teniendo habitación, quedando además la habitación 1 libre. Ya tenemos dónde instalar a nuestro nuevo huésped.

De hecho cualquier conjunto finito de nuevos huéspedes seguiría sin plantearnos problemas. Por ejemplo, podríamos alojar a una excursión de 200 personas pidiendo a cada huésped actual que se mudara a la habitación $n+200$ , siendo $n$ el número de la habitación que ocupa.

Época estival: infinitos nuevos huéspedes

Estamos ahora en época de vacaciones. El hotel de Hilbert está en la ciudad de moda, razón por la que acuden a él un número infinito de nuevos huéspedes, uno por cada natural positivo. ¿Podremos acomodarlos ahora? Pues sí, también se puede. Lo único que tenemos que hacer es mudar a cada huésped a la habitación que se obtiene de multiplicar por 2 la que tiene en este momento, es decir, si un huésped está en la habitación $n$ lo mudamos a la habitación $2n$ . Así quedan ocupadas todas las habitaciones pares, quedando libres todas las impares. En ellas es donde colocamos a los nuevos clientes, de la siguiente forma: los colocamos en fila, los numeramos y después colocamos al nuevo cliente $m$ en la habitación $2m-1$ (el nuevo cliente 1 va a la habitación 1, el nuevo cliente 2 a la habitación 3, y así sucesivamente).

Estamos en crisis: cierre de establecimientos

En una época de auge hotelero la empresa propietaria de nuestro hotel decidió adquirir infinitos hoteles de Hilbert, uno por cada natural positivo. Pero la crisis llega tiempo después y dicha empresa decide cerrar todos los hoteles menos uno. El problema es bastante serio, ya que en el momento del cierre todos sus hoteles de Hilbert tienen ocupación completa, y después de cerrar deben dejar a todos los huéspedes de todos los hoteles alojados. ¿Cómo podemos, en esta ocasión, acomodar a tal cantidad de clientes? En este caso la solución es algo más complicada, pero posible.

Primero nos vamos al hotel que quedará abierto y mudamos a cada inquilino a la habitación cuyo número corresponde con el doble de su habitación actual, como hicimos antes. Quedan entonces ocupadas todas las habitaciones pares y libres todas las impares. Después numeramos los hoteles que vamos a cerrar con los números primos, es decir, el primer hotel que cerramos es el hotel $3$ , el segundo el hotel $5$ , el tercero el $7$ , el cuarto el $11$ , y así sucesivamente. Y aquí está la clave: colocamos a los inquilinos del hotel $p$ en las habitaciones $p^1,p^2, \ldots, p^n, \ldots$ . Esto es, los inquilinos del hotel $3$ quedarán alojados en las habitaciones $3,9,27,81, \ldots$ ; los del hotel $5$ en las habitaciones $5,25,125,625, \ldots$ ; así con todos los hoteles cerrados. Como el conjunto de números primos es infinito podemos así dar acomodo a todos los huéspedes de todos los hoteles.

Una explicación más gráfica: