EL DEMONIO DE LAS MATEMATICAS

EL DEMONIO DE LAS MATEMÁTICAS
¿Porqué estudiar matemáticas?

Ramón Garibay Ayala 

La matemática es una de las Bellas Artes, la más pura de ellas, 

que tiene el don de ser la más precisa de las Ciencias. 

E. Lluis-Puebla 

Introducción 
La matemática existe desde que existe el ser humano. Prácticamente todo ser humano es un matemático en algún sentido. Desde los que utilizan la matemática hasta los que la crean. También todos son hasta cierto punto filósofos de la matemática. Efectivamente, todos los que miden, reconocen personas o cosas, cuentan o dicen que “tan claro es que dos y dos son cuatro”, son matemáticos o filósofos de la matemática. Sin embargo hay un número muy reducido de personas que se dedican a crear, enseñar, cultivar o divulgar la matemática. Es muy común la creencia de que un matemático es una persona que se dedica a realizar enormes sumas de números naturales durante todos los días. También la gente supone que un matemático sabe sumar y multiplicar números naturales muy rápidamente. Si pensamos un poco acerca de este concepto que la mayoría de la gente tiene podríamos concluir que no se requieren matemáticos ya que una calculadora de bolsillo realiza este trabajo. Hacer matemática es imaginar, crear, razonar. Según Arrigo Coen, Mathema significa erudición, manthanein el infinitivo de aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. Así que en sentido implícito, Matemática significa “lo digno de ser aprendido”. También se dice que matemática significa “ciencia por excelencia” (Lluis-Puebla, 1999:2-3).
A pesar de que las matemáticas son las más simples de las disciplinas que el ser humano ha creado, pues se concentra en conceptos abstractos nada comparables con la complejidad de las personas, a mucha gente no les gustan las matemáticas. Generalmente, dicen que porque no las entienden. En su mayoría se refieren a lo que se enseña en la escuela. Una razón de esto es porque nunca estudiaron constantemente y deseaban entender algún concepto sin antes haber entendido los anteriores. También es común entre estas personas el estudiar solamente para pasar algún examen y, de preferencia, solamente la noche anterior al examen. El presente ensayo habla acerca de cómo podemos acercarnos a las matemáticas sin tanto dolor e identificar algunos de los motivos del porqué debemos estudiar matemáticas. La primera vez que se les pregunta a los alumnos de las carreras de Economía y o Administración, su respuesta es: “que no sabían que iban a llevar en toda su carrera matemáticas” y generan cierta ansiedad en ellos, lo cual los lleva a reprobar; si te los encuentras en los siguientes trimestres, te dan otra versión completamente diferente, aunque lo resultados son los mismos, siguen reprobando. Aprender matemáticas implica el desarrollo de habilidades generales para el manejo, la comprensión y comunicación de datos numéricos, más que el dominio de conceptos y técnicas aisladas e involucra comprensiones globales más o menos amplias (Moreno, 1998).

El mito de las matemáticas 
Todas las personas son capaces de aprender y, por lo general, saben más de lo que creen (o reconocen) saber. Exponer un tema de matemáticas y compartir entre todos y todas diversas explicaciones, desde nuestra propia experiencia, en un ambiente de igualdad y de búsqueda conjunta de las soluciones, ha sido y es una experiencia increíble. Es usual escuchar a nuestro alrededor a personas que afirman que las matemáticas son muy difíciles, que quien sabe matemáticas es un experto. No negamos que se hagan estos comentarios, pero lo que no compartimos es el rechazo radical contra las matemáticas, porque lo único que hace es contribuir al mito de las matemáticas como dominio exclusivo de una élite de expertos, que es inalcanzable para el resto de las personas. Eso no sólo no es cierto, sino que además, normalmente, quienes defienden que las matemáticas no son importantes en la vida, que sólo las utilizan un grupo de expertos que conocen la nomenclatura y están familiarizados con el lenguaje matemático, lo que hacen es contribuir a aumentar la distancia entre las matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real. Hacer la diferenciación entre las matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real provoca que baje la resistencia que tienen muchas personas hacia las matemáticas. Cuando alguien dice que no sabe matemáticas o que simplemente se lleva mal con ellas, en realidad está diciendo que son las matemáticas académicas las que no sabe hacer. Todo ser humano es capaz de hacer matemáticas y utilizarlas para resolver situaciones en nuestras vidas. Se trata de enseñar a que las personas desarrollen la reflexividad, la capacidad de modelación, de uso de las matemáticas como herramientas para mirar de una manera crítica el mundo. Las matemáticas desde el punto de vista común, es una disciplina estática basada en fórmulas. Pero en realidad, las matemáticas continúan creciendo con rapidez, incursionando en nuevos campos y generando nuevas aplicaciones. Todas las personas tienen las mismas capacidades básicas para aprender, a pesar de ello suele ocurrir que 1) no todo el mundo dispone de las mismas oportunidades para aprender y 2) que cada persona tiene una manera diferente de desarrollar esas capacidades básicas de aprendizaje. Poincaré se preguntaba ¿cómo es posible que haya personas que no entienden matemáticas si estas están basadas en leyes de la lógica aceptadas por el común de las personas?, pero el problema no es este, sino que no se puede entender bien el argumento de una película si no se ha visto desde el principio (Lluis-Puebla, 1999:2).

Las matemáticas como una necesidad de crecer y desarrollarse
La UNESCO ha destacado el aprendizaje de las matemáticas como una de las piezas clave para el desarrollo y la Asamblea General de la International Mathematics Union (IMU) ha proclamado que el aprendizaje de las matemáticas es uno de los grandes desafíos para el presente siglo. Además la incorporación de las tecnologías de la información y de la comunicación (TICS) en el aula permiten también un cambio en las estrategias y el enfoque didáctico que podemos dar a nuestra labor como docentes. Esos recursos nuevos aumentaron las posibilidades de enseñar y nos permiten también centrarnos en otros conceptos diferentes a los que se priorizaban antes en una clase de matemáticas tradicional. Quizás lo más importante ahora ya no es tanto tener una gran agilidad mental con las operaciones numéricas complejas, sino saber decidir qué algoritmo matemático tenemos que utilizar para resolver cualquier problemática que se nos presente en nuestras vidas (UNESCO, 1989).
Los estudiantes del siglo XXI no sólo necesitan los principios fundamentales de aritmética, álgebra y geometría, sino que al tener que trabajar utilizando computadoras como herramientas de apoyo (aunque mejor sea dicho de rutina) tendrán que manejar algoritmos, formas, funciones, datos, atributos, acciones, entre otras tantas aptitudes. Aprender matemáticas hoy día significa aprender a leer y escribir matemáticas. El quehacer del aprendizaje de las matemáticas debe ser un proceso activo, es decir, el aprendizaje como la elaboración por parte del estudiante (y del docente) de la información recibida de diferentes fuentes: texto, internet, proyectos realizados o en curso en otras latitudes, vida cotidiana, para que cada uno elabore y relacione los datos recibidos en función de sus conocimientos previos y sus características personales. Por ejemplo en un curso de Cálculo el alumno puede poner en práctica lo comentado, para lograrlo se ponen de manifiesto algunas características de las matemáticas como los son la geometría, la álgebra así como la aritmética, y lo hace a través de un trabajo participativo fundamentado en la resolución de problemas donde el estudiante debe poner a prueba su comprensión del lenguaje escrito (español matemático) y hacer traducciones del español al lenguaje matemático y viceversa. En algunas ocasiones es necesario hacer descripción verbal para probar la comprensión de los conceptos, buscando que el estudiante aprenda a leer y a escribir matemáticamente. Por otro lado, se utiliza el enfoque de resolución de problemas para propiciar que los estudiantes aprendan a investigar y entender los contenidos matemáticos, formulen problemas a partir de situaciones cotidianas y matemáticas y, desarrollen y apliquen estrategias para resolver situaciones.

Aprendizaje de las matemáticas por problemas
En estos tiempos, encontramos un desfase entre las herramientas comunes de la práctica profesional y el enfoque de la mayoría de los cursos de matemáticas. Como resultado, los alumnos saben resolver con gran destreza un problema y no saben como interpretar la solución encontrada. De esta manera, la comprensión del concepto por parte del alumno es tan limitada que en ocasiones, lejos de poder aplicarlo a diversas situaciones, hasta es incapaz de identificarlo dentro de un planteamiento diferente. En la actualidad se dispone de paquetería como Mathematica, MatLab, Scientific WorkPlace, entre otros tantos con los cuales la necesidad de resolver ciertos problemas a mano quedó superada. Aun no queda claro lo que a estas fechas es necesario que el alumno aprenda y lo que ya no lo es. Aun así, no es posible aplicar este enfoque pues si de un curso moderno pasan a otro donde el profesor considere “casi” un pecado que no se sepan hacer las cosas a mano, la confusión y frustración serán mayúsculas, y aun más cuando hay dos profesores de un mismo tema y tienen concepciones diferentes. En general es fácil atribuir parte del problema a la falta de recursos: la mayoría de los alumnos no tienen computadora, o bien la sala de cómputo es insuficiente para dar los cursos. Si esto es completamente cierto, tal vez no haya mucho por hacer. Sin embargo, si de repente ya están las salas de cómputo adecuadas, ¿estamos dispuestos y preparados a cambiar hacia un nuevo enfoque en poco tiempo? No puede pasar desapercibido que cada vez más alumnos y profesores poseen computadora propia. Estamos en una etapa de transición en la que apenas estamos incorporando las computadoras como herramientas en la práctica docente y aun no hay uniformidad al respecto (y tal vez no sea necesario).
Se visualizan dos problemas (posiblemente de actitud) principales:
1. Se cree que los que nos tocó estudiar en otras generaciones es muy importante y que los alumnos también lo deben saber.
2. Muchos profesores desconocen las herramientas modernas o simplemente no las quieren utilizar, o bien no saben utilizarlas.
Es necesario estudiar algunos temas que no son de aplicación directa, como parte de la formación y el desarrollo de la capacidad de análisis de los alumnos. En algunos casos es necesario que el alumno conozca la forma como la computadora resuelve los problemas y que no la considere una caja negra infalible, ya que dentro de sus capacidades la computadora sólo hace lo que el usuario le pide. Lo más complejo es que al abordar el problema, naturalmente buscamos las causas, vamos encontrando otros problemas mayores, como el proceso de selección, lo mal que vienen de la preparatoria y luego todo el sistema educativo mexicano. Hay que tener cuidado con esto, no perdamos de vista que hay que invertir nuestro tiempo en aquello sobre lo que realmente tenemos control. Los estudiantes aprenden matemáticas por medio de las experiencias que les proporcionan los profesores. Por tanto, la comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes, su capacidad para usarlas en la resolución de problemas, y su confianza y buena disposición hacia las matemáticas están condicionadas por la enseñanza que han encontrado a lo largo de su historia académica. No hay recetas fáciles para ayudar a todos los estudiantes a aprender, o para que todos los profesores sean eficaces. No obstante, los resultados de investigaciones y experiencias que han mostrado cómo ayudar a los alumnos en puntos concretos deberían guiar el juicio y la actividad profesional. Para ser eficaces, los profesores deben conocer y comprender con profundidad las matemáticas que están enseñando y ser capaces de apoyarse en ese conocimiento con flexibilidad en sus tareas docentes.
Necesitan comprender y comprometerse con sus estudiantes en su condición de aprendices de matemáticas y como personas y tener destreza al elegir y usar una variedad de estrategias pedagógicas y de evaluación. Además, una enseñanza eficaz requiere una actitud reflexiva y esfuerzos continuos en la búsqueda de mejoras.

Resolución de problemas
Un problema es un obstáculo arrojado ante nuestra inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta. El ser humano vive resolviendo problemas, desde el satisfacer sus necesidades básicas hasta los más complejos desafíos científicos y tecnológicos. La importancia de la resolución de problemas es evidente: el bienestar individual y social, y en última instancia la supervivencia misma de la especie humana, dependen de esta habilidad. No es de extrañar, por lo tanto, que la resolución de problemas se haya convertido en un objeto de estudio, atrayendo por igual la atención de psicólogos, ingenieros, matemáticos, especialistas en inteligencia artificial y científicos de todas las disciplinas. En el campo educativo se ha reconocido ampliamente la importancia de la resolución de problemas, y en la actualidad se considera que esta actividad debe ser el punto focal de la enseñanza de la ciencia, desde la escuela primaria hasta la universidad, permeando el proceso de enseñanza-aprendizaje y proporcionando un contexto adecuado en el cual aprender conceptos y teorías y desarrollar nuevas habilidades y destrezas. Por ejemplo en una publicación del Consejo de Maestros de Matemática de Estados Unidos de América afirma que la resolución de problemas es la piedra angular de la 8 matemática escolar. Sin la habilidad para resolver problemas, la utilidad y el poder de las ideas matemáticas, su conocimiento y habilidades, están severamente limitados. Los estudiantes que pueden multiplicar eficientemente y con precisión pero que no pueden identificar situaciones que requieren de las operaciones aritméticas no están bien preparados. Los estudiantes que pueden desarrollar y llevar adelante un plan para resolver un problema exhiben un conocimiento matemático que es mucho más profundo y útil que la simple realización de un cálculo. A menos que los estudiantes sean capaces de resolver problemas, los hechos, conceptos y métodos que conozcan serán de poca utilidad. El objetivo de la matemática escolar debería ser que los estudiantes se vuelvan cada vez más capaces y deseosos de enfrentar y resolver problemas (National Council of Teachers of Mathematics, 2000).
Si examinamos un libro de texto de matemáticas con problemas resueltos, encontramos por lo general soluciones tersas y acabadas. Rara vez el autor incluye comentarios sobre los intentos fallidos de solución, los casos particulares examinados antes de llegar a la solución general o los refinamientos realizados a una primera solución no totalmente satisfactoria. Estos y otros elementos del proceso son cuidadosamente eliminados y lo que se presenta es el producto final, pulido y elegante. Lo que tradicionalmente se ha venido haciendo por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases:
Exposición de contenidos
Ejemplos
Ejercicios sencillos
Ejercicios más complicados
¿Problema?

La forma de presentación de un tema matemático basada en el espíritu de la resolución de problemas debería proceder más o menos del siguiente modo: propuesta de la situación problema de la que surge el tema:
• manipulación autónoma por los estudiantes
• familiarización con la situación y sus dificultades
• elaboración de estrategias posibles
• ensayos diversos por los estudiantes
• elección de estrategias
• ataque y resolución de los problemas
• recorrido crítico (reflexión sobre el proceso)
• afianzamiento formalizado (si conviene)
• generalización
• nuevos problemas
• posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas.

Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido.... La preparación para este tipo de enseñanza requiere una inmersión personal, seria y profunda.
No se trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino de adquirir unas nuevas actitudes que calen y se vivan profundamente. La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido.

Estrategias de resolución y aprendizajes que se esperan
Las buenas preguntas desarrollan los conocimientos que los estudiantes pueden utilizar para empezar a resolver el problema y que, gracias a las buenas preguntas y a las explicaciones del profesor y de la bibliografía adecuada, pueden evolucionar hasta alcanzar la meta final, es decir, la resolución del problema y el nuevo ‘modelo’, enriquecido con nuevas entidades científicas, nuevos lenguajes y ‘nuevas reglas del juego’ (es decir, nuevos criterios sobre qué se debe o qué no se debe hacer). Se desarrollan así las competencias de pensamiento científico de los estudiantes. Los auténticos problemas que generan aprendizaje deben activar este tipo de conocimientos, pero es evidente que éstos no son los mismos para todos ellos. Si el problema ya se sabe resolver deja de ser problemático, se transforma en una rutina y pasan a ser simplemente ejercicios (Bodner, 2002). La resolución de ejercicios no es garantía de aprendizaje significativo ni de comprensión conceptual (Smith y otros, 1995); a menudo se consigue aplicando un algoritmo (una fórmula, un proceso algebraico, una frase, una técnica que simplifica el problema) sin comprender su fundamento. La didáctica de las matemáticas postula que tanto una mala actitud como una falta de motivación e incluso lo que muchas veces se considera como falta de comprensión son hechos que se pueden explicar mediante las leyes que rigen el proceso didáctico.

Saber matemáticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos, sino que es ocuparse de problemas en un sentido amplio. Las matemáticas son un desafío permanente a la creatividad del profesor y del alumno en la enseñanza-aprendizaje y que juntos deben buscar la manera de responder satisfactoriamente a los problemas presentes tanto en su vida cotidiana como dentro de los mismos contenidos matemáticos, dándole un sentido útil a dichos contenidos.
Se dice que para aprender matemáticas se debe estar vinculado fuertemente con la formación de actitudes positivas hacia el conocimiento, pues estas son el móvil que posibilita el acceso consciente del alumno a la ciencia, y a la disposición que pueda tener para generar y transformar los saberes escolares en forma útil para su desarrollo académico y cotidiano. Un enfoque totalmente individualizado y adaptativo de la enseñanza de las matemáticas no sólo se debe preocupar del nivel de aprendizaje de un alumno, sino de la medida en que dicho alumno requiere una enseñanza directa de cada paso por lo que en la práctica, la enseñanza en el aula requiere que el profesor realice paso a paso el desarrollo de los procedimientos y que compruebe que el alumno lo entiende creando una seguridad de conocimiento que motive a un cambio de actitud hacia las matemáticas, el apoyo que proporciona el docente debe ajustarse, según las características del aprendizaje, la naturaleza del material y de las tareas, algunos alumnos pueden necesitar apenas un empujón, pero en otros casos necesitan que el docente modele más. Se puede decir que el temor de los alumnos no tiende hacia las matemáticas, sino a la reglamentación curricular de la institución educativa y su respectiva seriación modular, siendo ésta el filtro de permanencia en el nivel de estudios. En la forma tradicional el aprendizaje es acumulativo y las ideas de pérdida de conocimiento originan miedo, esto va a determinar una resistencia que será difícil superar; por eso no debemos suponer que los alumnos saben los conceptos, es nuestro compromiso ético dar apoyo al alumno recalcando los conceptos elementales durante la clase.
El modelo de Polya (1982) provee un marco conceptual para resolver problemas. Este consiste de cuatro etapas:
1. Comprender el problema. Resume la información dada y analiza qué desea determinar.
2. Desarrollar un plan. Expresa la relación entre los datos y la incógnita a través de una ecuación y/o fórmula, busca patrones.
3. Llevar a cabo el plan. Resuelve la ecuación, evalúa la fórmula, identifica el término constante del patrón, según sea el caso.
 4. Revisar. Examina la solución que obtuviste. Pregúntate si la pregunta tiene sentido.

Capacidades para el aprendizaje de las matemáticas
Las capacidades para el aprendizaje de las matemáticas se han definido como aquellas potencialidades que el sujeto posee para realizar con éxito acciones intelectuales en el área de las matemáticas. Pero la pregunta es ¿cómo contribuir a desarrollar en el alumno algunas de las capacidades más relevantes, que son necesarias para el aprendizaje de las Matemáticas? La respuesta es presentándoles problemas y ejercicios (no necesariamente dentro del contexto matemático), que lo hagan tomar en cuenta un análisis y ejerciten su raciocinio, con la finalidad de que al estudiar los contenidos matemáticos se encuentre en condiciones de asimilarlos.
Las capacidades que se desarrollaran en la solución de problemas son:
1. Capacidad para la comprensión de los enunciados que se leen. Capacidad que el sujeto tiene para interpretar adecuadamente la información contenida en un texto escrito, incluso a nivel de instrucciones o indicaciones.
2. Capacidad para establecer inferencias lógicas. Se refiere a la habilidad de integrar información de una manera coherente, a través de reglas establecidas que conducen a la obtención de conclusiones válidas.
3. Capacidad de abstracción reflexiva. Se refiere a la capacidad del individuo de abstraer con criterio lógico mediante la asociación de características, como forma, tamaño, color, posición entre otras, en conjuntos o series de elementos numéricos o gráficos. Asimismo, corresponde a la capacidad para interiorizar conceptos que no son tangibles o concretos, tales como número, conjuntos de números, puntos, líneas, superficies, etc.
4. Capacidad para establecer relaciones. Se refiere a la capacidad del sujeto para apreciar diferencias y semejanzas en las relaciones que existen entre los elementos de conjuntos dados.
5. Capacidad para realizar generalizaciones. Se refiere a la capacidad del sujeto para pasar de lo particular a lo general. Esto es, extrapolar una propiedad de un conjunto menor a un conjunto mayor que contiene al anterior y en el que también se verifica la propiedad.
6. Capacidad de simbolización. Se refiere a la capacidad del sujeto para representar expresiones del lenguaje cotidiano por medio de signos convencionales. Esta capacidad implica la facultad para traducir dichas expresiones al lenguaje simbólico y viceversa.
7. Capacidad de imaginación. Es la capacidad del sujeto para representar mentalmente imágenes de objetos reales o ideales.

La resolución de problemas proporciona al alumno estrategias que le permitan: identificar la información, plantear el problema, resolverlo e interpretar la solución. Al identificar la información, se comprende el enunciado o gráfica mediante el cual se expresa el problema y se aíslan sus variables; Mediante el planteamiento del problema, se asocia la información a modelos ya establecidos o fórmulas; el resolver el problema, provoca aplicar procesos aritméticos, algebraicos y/o geométricos que permitan llegar a la solución; finalmente, Interpretar el resultado, hace que el alumno vincule el resultado obtenido al contexto del problema.
La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, buena parte, colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.
En el mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que se convierten en ideas que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente.
En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heurísticas adecuadas para la resolución de problemas en general, por estimular la resolución autónoma de verdaderos problemas, más bien que la mera transmisión de recetas adecuadas en cada materia.
La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y la computadora actuales está comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar nuestra educación matemática adecuadamente, de forma que se aprovechen al máximo tales instrumentos. Es claro que por diversas razones como el costo, inercia, novedad, impreparación de profesores, hostilidad de algunos, entre otras cosas, aun no se ha logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. Este es uno de los mayores retos de la actualidad. Ya se puede presentar que nuestra forma de enseñanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas.
Una preocupación general que se observa en el ambiente conduce a la búsqueda de la motivación del alumno desde un punto de vista más amplio, que no se limite al posible interés intrínseco de las matemáticas y sus aplicaciones. Es claro que una gran parte de los fracasos matemáticos de muchos estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introducción por parte de los maestros. Poner en contacto la realidad con las matemáticas que han dado lugar a los procesos matemáticos que queremos explorar con los alumnos. La historia proporciona una guía para enmarcar lo diferentes temas, los problemas de lo que han surgido los conceptos importantes de la materia, nos da luces para entender la  razón que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Si conocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes, que de ellas han podido surgir la situación reciente de las teorías que de ellas han derivado. Junto con los estudiantes enfrentándose a situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de las ideas con las que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su búsqueda autónoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemáticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con situaciones que surgen de modo natural. Es claro que no podemos esperar que los alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elaboró tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Un cierto conocimiento de la historia de la matemática, debería formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemático y del profesor en general. Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea sumergirse en la investigación matemática como para el que quiere dedicarse a sus aplicaciones en la enseñanza, la historia de la matemática suele estar totalmente ausente de la formación universitaria.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.

Se trata de considerar como lo más importante:
• que el alumno manipule los objetos matemáticos
• que active su propia capacidad mental
• que ejercite su creatividad
• que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente
• que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental • que adquiera confianza en sí mismo
• que se divierta con su propia actividad mental
• que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana
• que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.

Ventajas de este tipo de enseñanza
• porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes: capacidad autónoma para resolver sus propios problemas
• porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos
• porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo
• porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemáticas
• porque es aplicable a todas las edades.

Características 
• es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar
• tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación
• el juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego
• el juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución
• el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio
• existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran placer
• el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican
• a través de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armonía

Conclusiones 
El dar un papel primordial a la resolución de problemas y a la actividad de modelización tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo. Sería cuanto menos contradictorio con la génesis histórica de las matemáticas, al igual que con sus aplicaciones actuales, presentar las matemáticas a los alumnos como algo cerrado, completo y alejado de la realidad. Debe tenerse en cuenta, por una parte, que determinados conocimientos matemáticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra, que a menudo estos problemas no estrictamente matemáticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemáticos. El aprendizaje de las matemáticas debe ser un proceso creativo, esclarecedor de la realidad y en el que las rupturas epistemológicas pueden elaborarse en distintas etapas. Cada nivel de abstracción se construye sobre los fundamentos de los anteriores, si éstos no tienen la debida solidez, la confusión va aumentando en lugar de que sea el acervo el que se incremente.