COMO ENCONTRAR EL NÚMERO PI EN EL TRIANGULO DE PASCAL 

El triángulo de Pascal nunca dejará de sorprendernos. El hecho de que contenga dentro de él tantos elementos destacables, hace que este objeto matemático sea de un gran interés para todos los que de una forma u otra se sienten atraídos por las matemáticas.

Dentro del triángulo de Pascal, que para quien no lo conozca es éste:

(los términos de izquierda y derecha son siempre 1, y los demás se consiguen sumando los dos que aparecen encima en la fila justo anterior) podemos encontrar los números naturales, los números combinatorios, los números triangulares, las potencias de 2, los términos de la sucesión de Fibonacci, en fin. Pero lo que nos compete en esta publicación es encontrar Pi.

Antes de nada vamos a establecer la notación que vamos a seguir con los elementos del triángulo. Comenzando a numerar las filas desde cero (la primera, la formada solamente por un 1) y los elementos de cada fila también por cero, llamaremos a cada elemento , siendo  la fila donde está el elemento y  la posición que ocupa el elemento en dicha fila . Por ejemplo, si vemos de nuevo el triángulo:

el término  sería igual a 4; el término  sería 35; y el término  sería 84.

Bien, metámonos en el asunto. El número combinatorio  se define de la siguiente forma:

Con esta definición, sabemos que los elementos  del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios :

Si tomamos ahora  tenemos que:

Simplificando los dos factoriales que dependen de  y desglosando  llegamos a la siguiente expresión:

Hasta aquí bien, ¿verdad?, pues demos un paso más. Vamos a tomar esta serie infinita relacionada con Pi que publicó Nilakantha Somayaji en el siglo XV:

Sacamos factor común el 4 de todas las fracciones, y después las multiplicamos y dividimos todas por 6. 

El “dividido” lo dejamos fuera de las fracciones, como denominador del 4 que habíamos sacado (quedando entonces ), y el “multiplicado” lo expresamos en todas ellas como , quedando la siguiente expresión:

Y ahora viene la clave: las fracciones que nos han quedado son precisamente los inversos de , para  par y mayor o igual que 4:

Y así llegamos a expresar el número Pi como una serie infinita que involucra de una forma maravillosa a ciertos elementos del triángulo de Pascal: