Introducción
A pesar de que se han
realizado grandes esfuerzos por mejorar la calidad y cobertura del sistema
educativo, la deserción y el rezago escolar continúan; actualmente la
preocupación crece, dado que los índices de reprobación en lugar de disminuir,
aumentan.
Una de las áreas de la matemática
que mayor dificultad adquiere para los estudiantes y las estudiantes es la
resolución de problemas; los niños y las niñas son capaces de resolver
mecánicamente las operaciones fundamentales básicas (suma, resta,
multiplicación y división), pero no saben cómo aplicarlas para la solución de
un problema, ya que sólo se les ha enseñado a actuar de forma mecánica y
repetitiva. Según Kamii (1994), citado por Ruiz y otros (2003, p. 326) “...La
resolución de problemas debería darse al mismo tiempo que el aprendizaje de las
operaciones en vez de después, como aplicaciones de éstas...”; por lo tanto, el
aprendizaje simultáneo de ambos facilitaría la comprensión y asimilación de las
operaciones aritméticas. La metodología empleada en la ense- ñanza de la
resolución de problemas en matemáticas, es un elemento clave para el logro
satisfactorio de los contenidos en esta área, Polya (1965), citado por
Echenique (2006, p. 10), explica “...que el profesor tiene en sus manos la
llave del éxito ya que, si es capaz de estimular en los alumnos la curiosidad,
podrá despertar en ellos el gusto por el pensamiento independiente; pero, si
por el contrario dedica el tiempo a ejercitarles en operaciones de tipo
rutinario, matará en ellos el interés...”. Los estudiantes y las estudiantes
deben ser introducidos de forma agradable con actividades que mantengan el
interés en la materia y evite abstracciones que conllevan a la desmotivación ante
la falta de comprensión de los diversos conceptos. Es necesario un cambio para
erradicar la concepción de la matemática como una materia aburrida y difícil,
se debe tomar conciencia acerca de la problemática vivida en torno a este tema,
pero también es necesario tomar las medidas necesarias para lograr el
mejoramiento en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de
problemas. Debido a lo anterior, se presentarán aspectos referentes a las
dificultades que muestran los estudiantes con respecto al aprendizaje de la
matemática, la metodología que se debe emplear para obtener una enseñanza eficaz
en relación al tema y que promueve el desarrollo de la inteligencia lógico
matemática en los niños y las niñas de educación primaria. Se considera que
para enseñar la resolución de problemas en matemática se debe aplicar una
metodología que ayude al estudiante a hallar la solución correcta de una manera
comprensiva; para lograr esto es importante reconocer aspectos referentes al
papel del docente y del alumno en este proceso, así como la influencia que
tiene la actitud que muestren ambos sujetos.
En el siguiente apartado se
presentan los fundamentos teóricos que sustentan este artículo, los cuales
corresponden a investigaciones realizadas que han permitido mejorar en cierta
medida el trabajo realizado por el personal docente en las clases de matemática.
Fundamentos teóricos Terán y otros (2005), explicaron que las clases de
matemática inician a partir de la definición de contenidos carentes de
significados para estudiantes de niveles de educación básica, ya que por lo
general se alejan de sus vivencias. Como consecuencia de ello, se les dificulta
reconocer la importancia de la matemática y los lleva a preguntarse ¿para qué
sirve esta materia?
En torno a esta problemática, se
han realizado algunos trabajos cuyos aportes se consideran valiosos para el
área en estudio, entre ellas se pueden mencionar las siguientes: A) Pinteño y
otros (1999) estudiaron la mejora del rendimiento en el área de matemáticas a
través de la resolución de problemas con alumnado de educación primaria. Esta
investigación tiene como base estudios realizados en Estados Unidos y España,
los cuales muestran resultados mediocres o muy bajos en cuanto a la resolución
de problemas de dos operaciones por parte de los estudiantes de la escuela
elemental y media de estos países. Con la investigación se tenía la pretensión
de lograr una mejora sustancial de los procesos de enseñanza y aprendizaje en
el área de matemáticas aplicando un modelo de resolución de problemas.
Cualquier sesión sigue este esquema general de trabajo: a. Introducción por
parte de la persona instructora con los componentes manipulativos. b.
Explicación de los componentes gráficos y simbólicos. c. Realización por parte
de los sujetos de los problemas. Esta tarea fue realizada individualmente, en
parejas o en pequeños grupos. d. Corrección de la tarea, cuando la mayoría del
grupo había terminado el trabajo. Se promovió la discusión de las soluciones
aportadas por el alumnado, lo cual favorece a la creación de un conflicto
cognitivo en el caso de la existencia de soluciones divergentes. Se hace
especial hincapié en la comprobación del resultado volviendo a leerse la
pregunta del problema y comprobando si la solución aportada se corresponde con
lo pedido. Se tuvo especial cuidado en el tratamiento de los errores cometidos
por el alumnado, tratando de considerarlos como algo natural durante el proceso
de enseñanza-aprendizaje. En los resultados se logró conocer que la aplicación
del programa instruccional en resolución de problemas aritméticos a un grupo de
alumnos y alumnas muestra resultados sensiblemente superiores en las
puntuaciones finales, respecto a las iniciales en las diversas categorías
semánticas de problemas. B) Sánchez (2001) realizó una investigación acerca de
las dificultades de los alumnos de sexto grado de educación primaria para la
resolución de problemas matemáticos. Esta se adentra en un grupo de alumnos que
mostraron dificultad en esta área, se hizo un análisis retrospectivo de las
enseñanzas y aprendizajes a las cuales han sido sujetos a lo largo de su
educación primaria. Desentrañó así que las dificultades para no resolver
correctamente los problemas, no radican en el alumno mismo, sino que entran otros
aspectos en juego, tales como la metodología empleada por el docente o la
actitud que éste tenga hacia la materia. El objetivo principal de la
investigación fue conocer y comprender la relación que existe entre las
dificultades para la resolución de problemas matemáticos presentes en los
alumnos de sexto grado y la forma en cómo les enseñaron las matemáticas en los
grados anteriores, y así es posible estar en condiciones de establecer
correlaciones entre ambos aspectos. De acuerdo a los resultados se evidencia
que la presencia de dificultades se debe a que no se tomó en cuenta durante su
enseñanza, la maduración psicogenética, se ha olvidado, ignorado o desconocido
que la concepción y comprensión por parte del estudiante de los contenidos
matemáticos están en relación con el nivel de desarrollo en que se encuentre.
Según la investigadora, no se da un seguimiento lógico y continuo entre los
elementos del proceso de enseñanza, en múltiples ocasiones se empieza por lo
último, es decir, la ejercitación de mecanizaciones para luego aplicarlas a la
resolución de problemas. C) Ruiz y otros (2003, p. 321) realizaron una
investigación llamada “El lenguaje como mediador de la aritmética en la primera
etapa de educación básica”. Este trabajo tuvo como fundamento la perspectiva
constructivista de Piaget y la corriente históricocultural propuesta por
Vigotsky. Su propósito fue diseñar, ejecutar y evaluar estrategias didácticas
para promover el desarrollo del pensamiento aritmético, utilizando el lenguaje
como mediador en niños y niñas de la primera etapa de educación básica de la
escuela rural Mirabelito de Trujillo en México. Se retoman algunas ideas
importantes acerca de las mejores formas para enseñar los conceptos numéricos
en los primeros años de escolarización, entre las estrategias didácticas más
sobresalientes en la investigación se encuentran: – Promover la comunicación
oral y escrita, como forma de hacer con las palabras las mismas acciones que se
hacen con los objetos; en este sentido, la promoción de la aritmética oral debe
ser tan importante como la escrita. – Propiciar el desarrollo de la
“reversibilidad”, como estrategia cognitiva, mediante la cual en la acción de
“devolverse” debe lograrse la comprensión de las nuevas relaciones que
aparezcan y de la forma diferente en que se manifiestan las acciones
preliminares. Tomando en cuenta lo anterior, se plantea la pertinencia de comenzar
a transformar la práctica pedagógica y, por tanto, el aprendizaje de los
conocimientos básicos mediante la perspectiva de la investigación-acción. Los
hallazgos evidenciaron que los niños y las niñas tratan de describir e
interpretar el proceso de resolución de problemas, mostraron satisfacción por
el trabajo cooperativo y desarrollo progresivo de la autonomía en la
realización de las actividades escolares. De este análisis surgió una
afirmación general, la cual se refiere a que cada estudiante es capaz de
desarrollar conocimientos aritméticos y lingüísticos significativos cuando se
promueven estrategias didácticas tales como: el juego, la resolución de
problemas, la reversibilidad, la interacción verbal, además, la lectura y
escritura fueron asumidas como procesos generadores de significados. D) Terán y
otros (2005) desarrollaron “La investigación-acción en el aula: tendencias y
propuestas para la ense- ñanza de la matemática en sexto grado”. Esta
investigación tuvo como propósito determinar la aplicabilidad de un conjunto de
estrategias constructivistas para la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática en sexto grado de la educación básica. La metodología utilizada fue
la investigación-acción participativa, que implicó un trabajo de campo
caracterizado por la observación y participación intensiva a largo plazo en una
unidad educativa del estado de Trujillo. Se seleccionaron como categorías de
análisis: la práctica pedagógica desarrollada por la maestra y el trabajo
cooperativo. Se menciona la necesidad de repensar la manera como se trabaja la
matemática, la cual se imparte de manera mecánica y repetitiva. Este problema
es inherente a todas las etapas del proceso educativo: planificación, ejecución
y evaluación; por lo general se planifica en función del programa de estudio y
no en función del alumno, lo cual hace que la materia no sea significativa para
el estudiante. El diseño y aplicación de estrategias metodológicas
constructivistas para facilitar el aprendizaje, condujo a logros tanto para el
grupo de estudiantes como para la maestra. En el alumnado permitió: desarrollar
actitudes positivas tendentes a mejorar el aprendizaje de la matemática,
formular, proponer e inventar nuevos problemas matemáticos, desarrollar un
pensamiento crítico, crear y recrear el conocimiento matemático. De igual
manera, se logró desarrollar en los niños y las niñas habilidades para el
trabajo independiente y autónomo en la realización de actividades y
consolidación de valores para la convivencia. En relación con la maestra, se
consiguió mejorar su práctica pedagógica, optimizar, presentar situaciones
reales o simuladas que permitieron a los niños y las niñas asumir actitudes
reflexivas relacionadas con la construcción de conceptos matemáticos y,
perfeccionar su capacidad creativa para diseñar otras estrategias metodológicas
tendentes a mejorar el aprendizaje de la matemática. Cada una de las
investigaciones citadas, surge ante una necesidad evidente de mejora de los
procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática, en los cuales hasta el momento
no han sido utilizadas estrategias didácticas pertinentes que favorezcan la
adquisición de conceptos matemá- ticos de manera significativa. En muchos
casos, los educadores y las educadoras que actualmente se encuentran enseñando
matemáticas en las aulas de educación general básica pasaron por un sistema de
enseñanza donde predominaba el enfoque tradicional. Como consecuencia de lo
anterior, y una posible causa de la problemática existente en torno a la
enseñanza de la matemática, es que en la actualidad esta asignatura así como
los conceptos y destrezas que involucra, carezca de significado para la mayoría
del personal docente, por lo que imparten sus clases de la misma manera en que
les fue enseñada, es decir, mecánicamente sin alcanzar la comprensión de cada
proceso al momento de efectuar alguna operación matemática. Por lo tanto, es
necesario replantear el enfoque curricular predominante hasta el momento en la
metodología empleada, ya que no es el alumno o la alumna quien debe estar en
función del contenido, sino todo lo contrario; el currículo debe concebirse de
tal manera que beneficie tanto a los grupos de estudiantes como a la sociedad
en general. Se debe tener presente que no toda la población estudiantil llega a
comprender los contenidos matemáticos fijados en los currí- cula oficiales de
la enseñanza obligatoria; a cierta parte de la población estudiantil se les
dificulta, otros pierden el interés y esto evitará que se esfuercen lo suficiente,
pero a todos les será necesario alcanzar cierto dominio en la utilización de
conceptos básicos en matemática, pues resultan indispensables, tanto para su
futura ocupación laboral como para su vida. Se debe estimular la adquisición
del conocimiento lógico matemático de manera que cada alumno sea capaz de
descubrir la importante relación existente entre esta materia y la vida
cotidiana.
El conocimiento lógico matemático
González y Jarillo (1994) explican
que el conocimiento lógico matemático no se toma de los objetos sino de las
acciones efectuadas sobre ellos. Es por medio de la acción que los objetos
serán incorporados a los esquemas y estructuras de los sujetos; además, los
sujetos no conocen más propiedades de las cosas que aquellas que su acción les
permite conocer.
Se debe tomar en cuenta por
tanto, que el conocimiento lógico matemático se acrecienta por medio de la
relación con el entorno, de aquí deriva la importancia de propiciar en las
clases de matemática momentos en los cuales los niños y las niñas puedan estar
en contacto con material concreto proveniente del medio externo que los rodea.
De esta forma, los alumnos y las alumnas serán capaces de comprender el sentido
de la matemática al descubrir que esta se encuentra presente en todos los
elementos del entorno, así como en las actividades que realizan, ya que la
matemática no se encuentra solamente en el aula sino en cada una de las
ocupaciones existentes. Echenique (2006, p. explica que se debe enseñar a
los alumnos “a pensar matemáticamente, es decir, a que sean capaces de abstraer
y aplicar ideas matemáticas en un amplio rango de situaciones y, en este
sentido, los propios problemas serán las “herramientas” que les llevarán a
ello”. Es importante tener presente que la adquisición del conocimiento
matemático va paralela al desarrollo del pensamiento lógico, y el eje central
en torno al cual gira esta adquisición y desarrollo, es la resolución de
problemas. La resolución de problemas, es un aprendizaje que ha de realizarse a
lo largo de la vida, contribuye a desarrollar en los niños y las niñas
estrategias mentales básicas que les facilita resolver situaciones de la vida
real, aplicando los conocimientos que se han adquirido durante los diferentes
niveles educativos. Ante esto, es necesario que las situaciones problemáticas
que se le presenten a la población estudiantil, puedan ser relacionadas con la
realidad que lo rodea, ya que le será más fácil a un estudiante pensar de
manera lógica cuando es capaz de vivenciar el problema y de manipular objetos
con el fin de lograr una mayor comprensión de la situación. Es fundamental
saber estimular el pensamiento lógico matemático mediante diversidad de
actividades que tiendan a incrementar la creatividad, con la cual los niños y
las niñas logren descubrir el conocimiento así como poner en práctica el acervo
que ya poseen. Se debe reconocer que la lógica en matemática es una destreza
que puede y debe ser desarrollada y fortalecida durante el periodo escolar. La
enseñanza de la matemática debe ser atendida con especial cuidado, con el fin
de lograr que los niños y las niñas desarrollen sus habilidades
correspondientes al periodo en que se encuentran.
Enseñanza de la matemática
La
matemática es una materia que generalmente despierta sentimientos encontrados,
hay quienes la aprecian, así como aquellos quienes después de haber terminado
un año lectivo no quieren saber nada de ella; esto se debe principalmente por
las experiencias o habilidades que haya tenido cada individuo. De este modo,
algunas personas sienten frustración ante ejercicios o problemas matemáticos, y
otros, por el contrario se sienten motivados y satisfechos al enfrentarse a
esta disciplina. El ambiente que se genere en los procesos de enseñanza y
aprendizaje es un factor decisivo para propiciar ambos tipos de sentimientos;
por ejemplo ante la falta de un ambiente propicio y de una metodología adecuada
durante la enseñanza de la matemática, la experiencia resultante no podrá ser
muy positiva. El alumno será capaz de comprender de una mejor manera aquello
que puede relacionar con sus experiencias, pues encontrará que posee mayor
relevancia en su vida cotidiana. Lamentablemente esto no ocurre con frecuencia,
ya que en su mayoría los docentes utilizan como eje central de la actividad
matemática la pizarra y limitan la participación de sus estudiantes; por lo
general, las actividades escolares fomentan la memorización y el estudiante no
es capaz de poner en práctica la información que ha aprendido de memoria, o en
la mayoría de los casos la olvida fácilmente después de resolver un examen. De
ahí que las estrategias de aprendizaje utilizadas adquieran tanta importancia
durante el proceso de enseñanza. Con respecto a esto el Ministerio de Educación
Pública (2005, p. 18) plantea que “las actividades y situaciones que se
diseñen, tienen que enfocarse hacia la comprensión, asimilación e
interiorización de conceptos de la matemática, a partir de la manipulación que
el niño y la niña hagan de los materiales o recursos didácticos” (...). Es
fundamental para la enseñanza significativa de la matemática buscar el modo de
conexión entre el aprendizaje nuevo con los conocimientos que ya posee y
facilitar de esta manera la comprensión del nuevo aprendizaje. El docente no
puede desechar los conocimientos previos de sus estudiantes como si fueran
inútiles; por el contrario, debe destacarlos y aprovecharlos para fomentar la
confianza en sí mismo al reconocer que la información que traen consigo es
importante para el proceso de enseñanza. Es bien sabido que dentro del aula
escolar hay estudiantes con multiplicidad de habilidades y capacidades, y esto
no debe ser una limitante en el aprendizaje de la matemática, por tanto, es
responsabilidad del docente generar el ambiente propicio para desarrollar al
máximo la capacidad de cada estudiante aunque no todos lleguen al mismo nivel.
En la enseñanza de la matemática se ha dejado de lado el pensamiento analítico
y reflexivo, el cual ha sido substituido por la memoria y la mecanización
generada principalmente por la repetición de ejercicios. Según explica Sánchez
(2001), la ense- ñanza ha transcurrido en representaciones simbólicas que no
han sido abordadas en forma concreta; de este modo las operaciones matemáticas
se convierten en manipulaciones simbólicas, al no ser aprendidas por medio de
la manipulación de materiales concretos, se obstaculiza la comprensión de los
procesos matemáticos. Con el fin de trabajar la comprensión lógica de los
problemas matemáticos, es fundamental que cada educador tenga presente cuáles
son las habilidades que debe fomentar durante sus clases.
Desarrollo de
habilidades intelectuales
Es importante que la enseñanza de la matemática no se
centre exclusivamente en la adquisición de conocimientos ya que esto constituye
una de las principales preocupaciones en el trabajo docente, al tener que
abarcar un plan determinado. En múltiples ocasiones por esta preocupación se
descuida el desarrollo de habilidades intelectuales que son indispensables para
lograr la comprensión de los procesos matemáticos. El desarrollo de ciertas
habilidades podrá propiciar que la persona sea competente en la materia, de
este modo será capaz de comprender los contenidos y procesos básicos al momento
que los interrelaciona de manera adecuada con situaciones de su vida diaria.
Las actividades realizadas en una clase de matemática deben contribuir al
desarrollo de la capacidad de pensamiento del alumno, con miras a que cada
individuo dentro del aula aprenda a razonar matemáticamente y aumente su
capacidad para resolver problemas. Con el desarrollo de ciertas habilidades, se
busca además incrementar la inteligencia lógica matemática en la población
estudiantil, la cual consiste en la facilidad para identificar diversidad de
figuras geométricas, resolver operaciones numéricas complejas con facilidad y
gusto, utilizar el pensamiento abstracto y solucionar problemas que pueda
relacionar con la vida cotidiana. Se reconoce en este aspecto la importancia de
la matemática, no sólo para abarcar una serie de contenidos, sino para el
desarrollo de destrezas útiles en la vida, con las cuales logren resolver, en
un futuro, problemas de su propio entorno e incluso sean capaces de proponer
soluciones ante los problemas sociales que deba enfrentar. El programa de
matemática que propone el Ministerio de Educación Pública para I ciclo de la
educación general básica establece una serie de habilidades que deben ser
desarrolladas con el fin de lograr la comprensión de la matemática. A
continuación se explica cada una de ellas: • Clasificación: esta habilidad es
básica en la construcción de los diferentes conceptos matemáticos, como son los
de número, y las operaciones numéricas. Esta habilidad se desarrolla en la
medida en que el estudiante descubra por sí mismo los criterios de
clasificación, no basta con que los clasifique a partir de un criterio dado. •
Flexibilidad del pensamiento: implica que el estudiante reconozca que un
problema puede ser resuelto de diferentes maneras. El docente debe contemplar
que en múltiples ocasiones los alumnos utilizan estrategias para resolver un
problema o ejercicio sin que les hayan sido ense- ñadas. • Estimación: es una
habilidad que permite dar una idea aproximada de la solución de un problema o
ejercicio, se desarrolla proponiendo al niño que dé respuestas aproximadas, lo
cual permitirá tener una idea de lo razonable del resultado que obtenga. La
estimación pone en evidencia el manejo que se tiene del sistema de numeración y
el cálculo mental. • Generalización: el desarrollo de esta habilidad permitirá
al alumno generalizar relaciones matemáticas o estrategias de resolución de
problemas. • Imaginación espacial: esta habilidad implica que los alumnos desarrollen
procesos que les permitan ubicar los objetos en un plano determinado,
interpretar figuras tridimensionales, estimar longitudes, áreas o volúmenes. •
Reversibilidad del pensamiento: se refiere a seguir una secuencia en orden
progresivo, al reconstruir procesos mentales en forma directa o inversa; es
decir, que tengan la habilidad de hacer acciones opuestas simultáneamente (MEP,
2005). Por medio de esta acción los estudiantes no solo deben ser capaces de
resolver un problema, sino de plantearlos a partir del resultado. Es importante
reflexionar sobre la dificultad que conlleva la tarea de ense- ñar a resolver
problemas matemáticos y al mismo tiempo de la necesidad de desarrollar en los
niños y las niñas las habilidades citadas anteriormente. Ante la escasa
estimulación que se les da dentro de las aulas, surge una seria problemática,
la cual se expone en el siguiente apartado.
Problemática en torno a la
metodología empleada
Los métodos tradicionales empleados actualmente en la enseñanza
de la matemática generan mayor desmotivación por parte de los estudiantes hacia
la materia. La metodología influye en gran medida en la actitud que puedan
presentar los estudiantes, por lo tanto, si el docente se preocupa por
presentar el contenido de forma atractiva, será posible que sus alumnos
muestren una actitud más positiva independientemente de su habilidad hacia la
materia. La práctica pedagógica refleja que en el sistema educativo
costarricense existe gran preocupación por parte de los docentes por cumplir
con cada uno de los contenidos y objetivos que propone el Ministerio de
Educación Pública, esto genera que las estrategias didácticas utilizadas sean
poco significativas, además adquiere gran relevancia el libro de texto, con lo
cual el protagonismo del alumno disminuye. Este primer hecho hace que la tarea
de resolver problemas se torne más difícil, ya que por la prisa que ocasiona
abarcar el currículo preescrito, no se le da el tiempo necesario al estudiante
para que interiorice cada problema y trate de resolverlo por sí mismo. Además
la resolución de problemas es vista como un tema más dentro del programa
escolar, y al igual que todos los otros, se pretende asignarle un tiempo para
ser estudiado, por lo que deja de ser el eje central de la matemática. El
docente debe desarrollar estrategias de aprendizaje que faciliten la
comprensión, por lo que no debe abandonar en el libro de texto la conducción
del trabajo del alumno, la interacción entre el docente y el estudiante es
fundamental para el adecuado desarrollo del proceso de enseñanza de la
matemática. González y Jarillo (1994, citado en Terán y otros (2005, p. 172)
afirma que “es condición necesaria y urgente, repensar la manera como se
trabaja la matemática dentro de las aulas de la Escuela Básica”, esto porque
generalmente esta disciplina es enseñada de una manera descontextualizada a los
ámbitos de la vida real de los alumnos y las alumnas y sin ninguna relación con
otras áreas curriculares. Para que cada estudiante pueda encontrarle sentido a
la matemática como una materia necesaria para la vida es fundamental la
actuación del docente, quien tiene la responsabilidad de integrar en sus clases
diversos aspectos cotidianos con el fin de hacer ver a sus estudiantes la
significatividad de la materia. Además, es fundamental que exista una relación
entre la matemática con las demás materias y de este modo hacer conscientes a
los estudiantes de su importancia en todo plano de la vida. Es necesario que
las situaciones problemáticas planteadas al alumnado se presenten en contextos
y situaciones reales de acuerdo con su entorno, su edad y las experiencias
previas que posea. Por esta razón, el docente debe ver en el libro de texto un
apoyo a su labor, ya que en ciertas ocasiones no se encuentra contextualizado
al ambiente que vive el niño y la niña o los ejercicios y problemas no se
ajustan a la capacidad que poseen, motivo que contribuye a acrecentar la falta
de sentido en la materia. Es fundamental conocer qué tipo de dificultades
surgen como consecuencia de una enseñanza poco eficaz en la resolución de
problemas con el fin de trabajar en la mejora del proceso de enseñanza
aprendizaje de esta área. Si el docente no reconoce cuáles son las principales
limitaciones que debe enfrentar no será capaz de mejorar su labor, pues primero
se debe tomar conciencia sobre aquello que requiere un cambio. Puig (1996, p.
22) explica que …el profesor de matemáticas debería luchar por posibilitar que
cada alumno desarrolle, dentro de sus capacidades, la comprensión y destrezas
matemáticas exigidas para la vida adulta, para el trabajo y para posteriores
estudios y aprendizajes, teniendo presentes las dificultades que algunos
alumnos experimentarán para lograr una comprensión apropiada. Con respecto a lo
anterior, se evidencia la importancia de la enseñanza de la matemática, no sólo
para abarcar una serie de contenidos, sino para el desarrollo de destrezas
útiles en la vida. De esta manera, la resolución de problemas matemáticos, debe
aprovecharse para desarrollar en la población estudiantil destrezas básicas
como la comprensión, el análisis, la creatividad… con las cuales logren en un
futuro resolver problemas de su propia vida e incluso sean capaces de proponer
soluciones ante los problemas sociales que deba enfrentar. De ahí la
importancia de la resolución de problemas matemáticos.
Resolución de problemas
matemáticos
Los alumnos deben construir conceptos matemáticos a partir de la
resolución de problemas, ya que esta habilidad les permite hallar la relación
entre la matemática y su vida. Ruiz y otros (2003, p. 325) explican que la
resolución de problemas se concibe “como generadora de un proceso a través del
cual quien aprende combina elementos del conocimiento, reglas, técnicas,
destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar solución a una situación
nueva”. Así, la resolución de problemas puede considerarse como el eje central
de la enseñanza en matemática. De acuerdo con Buschiazzo y otros (1997, p. 58)
desde el punto de vista matemático, “el problema implica una dificultad, ya que
se plantea una situación nueva que se debe dilucidar por medio del
razonamiento. La superación de esta dificultad que se habrá de alcanzar a
través de algún camino constituye la resolución del problema”. A partir de lo
anterior se reconoce que el problema debe conformar un reto para el alumno, y
debe ser adecuado al nivel de formación de cada grupo. De este modo, no se
puede pretender que todos en el aula resuelvan siempre los mismos problemas; al
considerar que dentro de una misma clase se pueden encontrar estudiantes con
distintas capacidades cognitivas, es lógico que resuelvan problemas con
diferentes niveles de dificultad, de manera que constituya un verdadero reto para
todos. Un problema no se debe responder de manera inmediata, lo cual no quiere
decir que la situación planteada debe estar más allá de lo que podría resolver
el niño o la niña de acuerdo a su etapa de desarrollo cognitivo; sino que la
situación que se le presenta no es idéntica a alguna que haya resuelto
anteriormente por lo que amerita un esfuerzo mayor para comprenderla.
Normalmente, cuando los alumnos se enfrentan a un reto así, no son capaces de resolverlo,
no porque no puedan, sino porque no están acostumbrados a hacerlo y no están
conscientes que requiere mayor participación de su parte por lo que se dejan
vencer fácilmente. Es importante que los alumnos y alumnas sean capaces de
explicar y justificar el proceso seguido en la resolución de problemas y
comprendan la razón de las soluciones que proponen, es necesario que entiendan
por qué ciertos procedimientos conducen a la respuesta esperada y otros no.
Según establecen Ruiz y otros (2003, p. 327) “dejar hablar [a] los niños sobre
sus acciones, permite al maestro acceder a su pensamiento”. De ahí que se
valore el brindar espacios en los cuales se dé la oportunidad para expresarse
oralmente y así conocer cómo piensan el niño y la niña; con el fin de poder
entender su pensamiento y de este modo utilizar la mejor estrategia para
guiarles hacia la búsqueda de una solución eficaz del problema. En este proceso
es fundamental tomar en cuenta los distintos ritmos de aprendizaje, ya que
muchos alumnos necesitarán más tiempo de discusión y trabajo oral, antes de
poder abordar por escrito los problemas. Es necesario evitar la enseñanza de
métodos mecánicos para resolver un problema, por lo general los docentes acuden
a un único procedimiento para resolverlos y no dejan libertad de pensamiento a
sus estudiantes, quienes deben utilizar la misma estrategia de solución que le
fue enseñada. Por el contrario, se debe impulsar a cada estudiante a hallar la
solución del problema por sí mismo, debe ser capaz de reconocer que existe más
de una forma para darle solución y no limitarse a una única manera de hacerlo.
El profesor debe ayudar a los alumnos y alumnas a comprender la mejor forma en
que pueden aplicar los conocimientos o destrezas que posean o estén aprendiendo
y cómo han de hacer uso de ellas en la resolución de problemas. Para facilitar
la utilización de las destrezas y habilidades adquiridas, los problemas han de
guardar relación tanto con situaciones cotidianas como con otras menos
familiares. Según Buschiazzo y otros (1997, p. 74) “la resolución del problema
no debe involucrar cálculos largos, que hagan fatigar y al cabo de los cuales
se pueda perder el hilo del razonamiento y aún el interés por su resolución”.
El docente debe plantear problemas que supongan verdaderos retos para sus
estudiantes; es importante que los problemas tengan una presentación diversa
para evitar la mecanización, pues por lo general los alumnos no buscan
comprenderlos sino identificar el tipo de operación al que hace referencia el
problema. Los niños y las niñas deben enfrentarse al problema de manera
creativa y ser ellos quienes propongan la mejor forma de solución, para esto es
necesario que estén en contacto con el material necesario que les permita
apoyar su pensamiento. Además, es fundamental que utilicen el conocimiento que
poseen para generar uno nuevo que les permita comprender la información
relevante para resolver el problema. Será muy probable que cometan errores al
intentar solucionarlo pero no se debe ver como falta de inteligencia, por lo
que es importante analizar el procedimiento seguido para detectar las razones
que le han impedido tener éxito. Comúnmente en las clases de matemática se
observa que los estudiantes olvidan con frecuencia lo que deben hacer cuando se
retoma un contenido que ha sido visto anteriormente. Esto se da principalmente
por su falta de intervención en el proceso de resolución de ejercicios y
problemas; por tanto, es necesario incentivar la participación de los niños y
las niñas como sujetos del proceso enseñanza aprendizaje, cada estudiante debe
reconocer su capacidad de pensamiento y determinar sus avances y errores en el
transcurso del aprendizaje. Ante la resolución de problemas los alumnos deben
reflexionar sobre la situación y las acciones que realizan en el proceso, es
fundamental una actitud crítica ante el propio trabajo y el de los demás.
Los niños deben ser partícipes
activos en el proceso de enseñanza, para lo cual se deben planear diversas
actividades que sean atractivas e interesantes con el fin de motivarlos a
participar con entusiasmo. Es fundamental la existencia de un ambiente en el
cual se tolere la reflexión, la duda, la exploración y la discusión sobre las
diferentes maneras de comprender una misma situación problemática. Crear un
clima de tranquilidad es fundamental para facilitar la concentración a la hora
de plantear el problema y evitar así que los estudiantes se precipiten a
resolver el problema muchas veces de manera errónea, por el simple hecho de
terminarlo. Buschiazzo y otros (1997) explican ciertas tareas importantes que
posee el docente en la enseñanza de resolución de problemas, entre las cuales
se destacan: • Selección de problemas: para esto el docente debe tener en
cuenta las características del grupo en general con el fin de contextualizar la
situación problemática; además debe contemplar las características
individuales, para adecuar el problema al nivel cognitivo de sus estudiantes. •
Orientar la resolución: el educador debe actuar como guía en la resolución del
problema, debe permitir que sea el estudiante quien proponga las soluciones y
se dé cuenta de sus errores. Esto no quiere decir que el docente se muestre
como un simple espectador, sino que oriente el proceso de manera que evite dar
una única ruta de solución a sus alumnos. • Estimular la resolución de
problemas: será común que en el proceso los estudiantes sientan desánimo ante
la dificultad que se les presente, ante esto el educador debe motivarlos para
que muestren una actitud positiva en todo momento. • Debe ser modelo ante la
resolución de problemas: mediante la actitud que tenga, el docente puede transmitir
una serie de sentimientos a sus estudiantes; por lo que es indispensable que
sea optimista y muestre gusto ante los problemas que se están resolviendo. Por
tanto debe evitar comentarios o gestos que puedan desanimar a los niños o a las
niñas. Para lo anterior es relevante la tarea del educador o la educadora,
quien debe preparar sus clases de manera adecuada para facilitar la enseñanza a
sus estudiantes; dentro de las particularidades del proceso de enseñanza y
aprendizaje de la matemática, al igual que en cualquier área del conocimiento,
uno de los elementos claves del mismo viene a estar representado por la figura
del docente el cual en su condición de mediador, deberá estar preparado y
capacitado para convertir el ambiente educativo en un laboratorio de
experiencias que conduzca a cada estudiante a crear y construir su conocimiento
utilizando al máximo sus habilidades de acuerdo con su nivel de desarrollo.
Cada una de las funciones mencionadas son necesarias para incentivar la
búsqueda de soluciones por parte del alumnado. Para lograrlo, se debe estimular
el razonamiento mediante la aplicación de diversos métodos ante una misma
situación.
Métodos de resolución de problemas
Se debe tener claro que no
existen recetas mágicas para dar solución a un problema, pero se pueden
utilizar ciertos pasos que son esenciales para hacerlo, en los siguientes
párrafos se explican algunos métodos que facilitan este proceso. Echenique
(2006, p. 23) aclara que Durante muchos años y todavía en nuestros días, la
mayor parte de los problemas matemáticos que se proponen en clase tienen como
finalidad aplicar los contenidos o algoritmos que se han estudiado en la unidad
didáctica de la que forman parte.
Estas actividades no potencian la
búsqueda de procedimientos de resolución, sino que, más bien al contrario, a
menudo se presentan como baterías de problemas que los alumnos resuelven de
forma mecánica. Generalmente se les pide que los trabajen de forma individual,
por lo que no discuten las razones por las que lo resolvieron de esa manera o
por qué aplicaron cierto algoritmo, en otros casos se dejan como tareas y se
revisan al día siguiente sólo las respuestas. De este modo los estudiantes no
son capaces de salir de la mecanización; para evitarlo se proponen algunos métodos
de los cuales el docente se puede valer para impartir sus clases de manera más
significativa. 1. Polya (1949), citado por Echenique (2006), establece cuatro
etapas en la resolución de un problema: • Comprender el problema: implica
entender tanto el texto como la situación que presenta el problema, diferenciar
los distintos tipos de información que ofrece el enunciado y comprender qué
debe hacerse con la información que es aportada. Se debe leer el enunciado
despacio, tratando de contestar las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son los
datos? (lo que conocemos). ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos).
Después hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las
incógnitas y si es posible, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.
• Diseñar un plan: es la parte fundamental del proceso de resolución de
problemas. Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál es
la meta a la que se quiere llegar, es el momento de plani ficar las acciones
que llevarán a ella, es necesario abordar cuestiones como para qué sirven los
datos que aparecen en el enunciado, qué puede calcularse a partir de ellos, qué
operaciones utilizar y en qué orden se debe proceder. • Ejecución del plan:
consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la
planificación. Es necesaria una comunicación y una justificación de las
acciones seguidas: primero calculo…, después…, por último… hasta llegar a la
solución. Esta fase concluye con una expresión clara y contextualizada de la
respuesta obtenida. • Examinar la solución: es conveniente realizar una
revisión del proceso seguido, para analizar si es o no correcto el modo como se
ha llevado a cabo la resolución. Es preciso contrastar el resultado obtenido
para saber si efectivamente da una respuesta válida a la situación planteada,
reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otras vías,
utilizando otros razonamientos. Las etapas anteriormente mencionadas,
normalmente no se dan dentro de las aulas y son indispensables para conocer el
modo de pensar, razonar y actuar de los estudiantes y de esta forma ayudarlos a
corregir sus errores. 2. Pinteño y otros (1999) establecen que la presentación
de un tema matemático debe estar basada en la resolución de problemas, de este
modo se pone énfasis en los procesos de pensamiento de los estudiantes. De
acuerdo con De Guzmán (2000 citado por Pinteño y otros, 1999, p. 207), Revista
Educación 32(1), 123-138, ISSN: 0379-7082, 2008 la forma de presentación de un
tema matemá- tico basada en el espíritu de la resolución de problemas debería
proceder más o menos del siguiente modo: 1. Propuesta de la situación problema
de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos,
juegos...). 2. Manipulación autónoma por el alumnado. 3. Familiarización con la
situación y sus dificultades. 4. Elaboración de estrategias posibles. 5.
Ensayos diversos por el alumnado. 6. Herramientas elaboradas a lo largo de la
historia (contenidos motivados). 7. Elección de estrategias. 8. Ataque y resolución
de los problemas. 9. Generalización. 10. Nuevos problemas. En todo el proceso
el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida por el profesorado,
colocando al alumnado en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir
descubriendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos y matemáticas han
logrado con tanto esfuerzo. 3. Ruiz y otros (2003), en su investigación,
diseñaron y aplicaron estrategias para promover la construcción de aprendizajes
de contenidos matemáticos relacionados con la lectura, la escritura y el juego.
En esto destacó algunos elementos importantes para la enseñanza de conceptos
matemáticos, localizados en la revisión de literatura: - Explorar los conceptos
numéricos desarrollados por los niños en forma natural con la finalidad de
reconocer las reglas implícitas seguidas por éstos y construir sobre ellas
otros conceptos numéricos (Resnick,1989; Kamii, 1994, citado en Ruiz y otros,
2003, p. 323). - Promover la resolución de problemas como estrategia didáctica
que permite el desarrollo del razonamiento autó- nomo, al posibilitar la
construcción y reconstrucción de soluciones (Resnick, 1989; Kamii, 1994;
Ministerio de Educación, 1997, citado en Ruiz y otros, 2003, p. 323). -
Promover la comunicación oral y escrita, como forma de hacer con las palabras
las mismas acciones que se hacen con los objetos, a fin de desarrollar la
internalización de las acciones externas y la capacidad lingüística al
sustentar afirmaciones usando diversas formas argumentativas, desde el lenguaje
común hasta el lenguaje formal (...). - Propiciar el desarrollo de la
“reversibilidad”, como estrategia cognitiva, mediante la cual en la acción de
“devolverse” debe lograrse la comprensión de las nuevas relaciones que
aparezcan y de la forma diferente en que se manifiestan las acciones
preliminares (...). - Considerar la importancia de la actividad lúdica, lo cual
implica ofrecer [a cada estudiante] la oportunidad de construir y reconstruir
la realidad con la ayuda de instrumentos simbólicos y reglas, mediante los
juegos. En el juego se realizan los mayores logros del [educando] (Ruiz, 2003,
p. 323). Quizás el método más sencillo de aplicar sea el propuesto por Polya
(1949), citado por Echenique (2006), a partir de este, el docente puede ser
capaz de integrar aspectos que resaltan los otros modelos. En página siguiente
se da un ejemplo concreto de cómo se puede aplicar en una clase de resolución
de problemas. Los métodos citados pueden constituir el punto de partida hacia
el mejoramiento de la enseñanza de la resolución de problemas en matemáticas,
no se trata que el docente los siga al pie de la letra, mucho menos que elija
solamente uno para aplicarlo por el resto de su vida. La idea central es que
tome de cada uno lo que más le convenga según sus necesidades, siempre y cuando
propicie la participación activa de los niños y las niñas y tenga presente que
son ellos y ellas quienes deben hallar la estrategia de resolución. Es
fundamental que los métodos que se proponen sean aplicados desde la etapa
inicial de la escolaridad, ya que se deben formar desde pequeños y de este modo
los problemas y el enfrentarse a ellos sea visto con naturalidad y parte del
trabajo cotidiano en el aula.
Amanera de conclusión
No basta
con presentar problemas matemáticos para que los educandos los resuelvan. Es
necesario darles un tratamiento adecuado, analizando las estrategias y técnicas
de resolución utilizadas, se debe dar oportunidad a cada estudiante de
expresarse para conocer su modo de pensar ante las diversas situaciones que se
le presentan. Cada docente debe promover la asimilación e interiorización de
conocimientos matemáticos en sus estudiantes, con el fin de que adapten esos
conocimientos para resolver problemas que no les sean tan habituales, así como
para plantearse otras cuestiones a partir de ellos. En este sentido, los
modelos de resolución de problemas ocupan un papel importante pues son
fundamentales para el mejoramiento de la enseñanza de los mismos, para
aplicarlos se debe dedicar un espacio en el horario escolar y conseguir un
clima propicio en el aula que favorezca la adquisición de destrezas. Si bien es
cierto, el aplicar algún método conlleva más tiempo del que se acostumbra
dedicar normalmente a la resolución de problemas; no se debe tomar como pérdida
de tiempo, pues durante el proceso cada estudiante será capaz de adquirir mayor
comprensión y habilidades intelectuales necesarias para toda su vida. Se debe
tener presente que la matemática no se aprende por transmisión directa de lo
que explica el docente o de la información que se obtiene de los libros de
texto; sino que se aprende en interacción con situaciones problemáticas las
cuales obligan al estudiante a modificar su estructura cognitiva por el
contacto con una multiplicidad de acciones que requieren distintas habilidades.
Gracias Denisse, a leer un ratito
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