sábado, 24 de octubre de 2015
viernes, 23 de octubre de 2015
El álgebra en la educación secundaria
El álgebra en la educación secundaria
El álgebra, más que cualquier otra parte de las matemáticas en la educación
secundaria, representa la transición entre la aritmética y la geometría elementales de
la primaria y las matemáticas de grados superiores.
Casi todas las matemáticas de la
preparatoria y la universidad requieren del lenguaje del álgebra para modelar
situaciones y resolver problemas, así como para expresar conceptos y operar con
ellos en niveles cada vez más abstractos.
El aprendizaje del álgebra es importante para todos los alumnos y no sólo para
aquellos que van a continuar sus estudios en una carrera técnica y universitaria. En
nuestros días ha quedado atrás la vieja idea de que aprender a leer y escribir, y un
mínimo de conocimientos aritméticos y geométricos, —junto con un adiestramiento
para realizar determinadas tareas— permite desempeñar un trabajo o ejercer un
oficio.
La mayoría de los empleos que se crean actualmente requieren de individuos
con mayor preparación, capaces de asimilar nueva información y utilizarla para
resolver problemas, así como de acceder al uso de nuevos instrumentos y técnicas.
Aun actividades que se han vuelto tan cotidianas y necesarias para el trabajo, como
llenar un formulario o leer un instructivo o manual de operación, necesitan que las
personas conozcan y estén familiarizadas con los modos de expresión simbólica y
pensamiento abstracto que se desarrollan por medio del estudio del álgebra, como
son poder extraer información de cuadros, tablas y gráficas, comprender fórmulas
y saber utilizarlas.
Para favorecer el acceso al álgebra, es conveniente que desde el primer grado de la
educación secundaria los alumnos se acostumbren de manera gradual a utilizar
expresiones con literales, a las primeras reglas sencillas de escritura algebraica y a
otros temas que desde la aritmética y la geometría preparan el estudio de esta
disciplina. Las actividades deberán enfatizar el uso de situaciones concretas y su
representación por medio de tablas y gráficas, para que el alumno explore regulari-
dades y patrones y aprenda a expresarlos simbólicamente, sin intentar llegar todavía
a la manipulación algebraica de los símbolos.
La adquisición de las nociones algebraicas toma tiempo para completarse y, además,
no todos los alumnos aprenden con la misma facilidad o rapidez. Los programas de
segundo y tercer grado están diseñados de manera que el profesor pueda adaptarse
a los distintos ritmos de aprendizaje de sus alumnos y ofrecerles la oportunidad de
movilizar y enriquecer constantemente los conocimientos vistos con anterioridad, al
mismo tiempo que controla el grado de adquisición alcanzado. En el segundo grado,el álgebra comienza con el estudio de las ecuaciones lineales, las regiones y
subconjuntos del plano cartesiano, el planteo de problemas que conducen a sistemas
sencillos de ecuaciones lineales y su resolución por el método de sustitución, y las
primeras operaciones con monomios y polinomios. En el tercer grado se profundiza
y completa el estudio de los temas anteriores y se introducen además los temas de
productos notables, factorización y ecuaciones cuadráticas, poniendo énfasis en la
factorización de polinomios de segundo grado y la solución de ecuaciones cuadráticas
por diversos métodos.
Los alumnos tienen dificultades para dominar este lenguaje simbólico. Es común
que al principio se desconcierten por el uso de literales y que, un poco más tarde,
desarrollen formas de expresión y solución de problemas donde se mezclan el
lenguaje natural con el uso, no siempre correcto, de expresiones simbólicas. Por ello,
el profesor deberá plantear actividades que los ayuden a rebasar paulatinamente
estas etapas del aprendizaje y, al mismo tiempo, les comuniquen la importancia que
tiene pasar de una situación o enunciado a su expresión simbólica y operar con ella.
Libro para el maestro
Matemáticas Secundaria
Es importante que durante todo el aprendizaje del álgebra los alumnos la utilicen
para resolver problemas que doten de sentido a las nociones y procedimientos
algebraicos. Estos problemas no sólo deben aparecer después de que se han estudia-
do las formas de resolverlos, como aplicaciones de los mismos, sino que deberán
estar presentes en todas las fases del aprendizaje, para introducir y facilitar la
comprensión de nuevos conocimientos, así como para enriquecer los que se hayan
visto con anterioridad.
El álgebra que conocemos es el resultado de un largo proceso de desarrollo, en el cual los historiadores distinguen tres etapas bien diferenciadas: la del álgebra retórica, cuando todavía no existían símbolos algebraicos y tanto los problemas como las ecuaciones se expresaban enteramente en el lenguaje natural; la del álgebra sincopada, en la que el lenguaje natural se combina con el uso de algunos símbolos —por ejemplo, letras para representar las incógnitas—; y la etapa del álgebra simbólica que utilizamos hoy en día, cuando el lenguaje algebraico se ha vuelto autónomo en relación al lenguaje natural y tiene sus propias reglas de sintaxis. En la etapa retórica, el problema, las ecuaciones y sus soluciones se expresaban en lenguajes práctica- mente indistinguibles; con la evolución del álgebra terminaron por expresarse en lenguajes distintos. Las notaciones y el lenguaje simbólico del álgebra constituyen uno de los grandes logros de las matemáticas y son un instrumento imprescindible para el pensamiento abstracto y la solución de problemas. Tanto es así que en el siglo XVIII y a principios del XIX se pensó que todas las matemáticas y sus aplicaciones podían vertirse en el álgebra.
El álgebra que conocemos es el resultado de un largo proceso de desarrollo, en el cual los historiadores distinguen tres etapas bien diferenciadas: la del álgebra retórica, cuando todavía no existían símbolos algebraicos y tanto los problemas como las ecuaciones se expresaban enteramente en el lenguaje natural; la del álgebra sincopada, en la que el lenguaje natural se combina con el uso de algunos símbolos —por ejemplo, letras para representar las incógnitas—; y la etapa del álgebra simbólica que utilizamos hoy en día, cuando el lenguaje algebraico se ha vuelto autónomo en relación al lenguaje natural y tiene sus propias reglas de sintaxis. En la etapa retórica, el problema, las ecuaciones y sus soluciones se expresaban en lenguajes práctica- mente indistinguibles; con la evolución del álgebra terminaron por expresarse en lenguajes distintos. Las notaciones y el lenguaje simbólico del álgebra constituyen uno de los grandes logros de las matemáticas y son un instrumento imprescindible para el pensamiento abstracto y la solución de problemas. Tanto es así que en el siglo XVIII y a principios del XIX se pensó que todas las matemáticas y sus aplicaciones podían vertirse en el álgebra.
Libro para el maestro
Matemáticas Secundaria
Dirección General de Materiales
y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública
link para descargar libro completo
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¿Conocías estos 10 curiosos hechos sobre las matemáticas?
Las matemáticas lo son todo. Ciencia fundamental, compleja, diversa y sencillamente fascinante. Te gusten las matemáticas o no, no puedes negar estas afirmaciones. Pero hoy no vamos a dedicarnos a hablar sobre la importancia de esta ciencia, 10 hechos curiosos de las matemáticas que quizá no conocías y probablemente te sorprendan.
10. Lleva goma de mascar a tu próximo examen de matemáticas
Según se ha observado globalmente, aquellos estudiantes que durante una prueba o un examen de matemáticas mastican goma de mascar son los que consiguen mejores calificaciones. Así lo determinó un largo estudio desarrollado por un grupo de investigadores de la Louisiana State University.
9. Los antiguos babilonios, genios matemáticos
Los antiguos babilonios, verdaderos genios en matemáticas, desarrollaron susestudios matemáticos en base 60 en lugar de base 10. Por esta razón, un minuto tiene 60 segundos y un círculo tiene 360°.
8. Multiplicación capicúa
1089 x 9 = 9801
7. Pizza
Si tienes una pizza con un radio Z y una altura A, su volumen será: PI*Z*Z*A.
6. 2520 y su perfecta división
2520 es el número más pequeño que puede ser dividido en forma exacta por los números del 1 al 10.
5. ¡100! ¿100?
- 123 - 45 - 67 + 89 = 100.
- 123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100.
- 123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100.
- 1 + 23 - 4 + 5 + 6 + 78 - 9 = 100.
4. ¿Cómo atar un lazo?
Según los matemáticos, existe un total de 177.147 formas distintas de atar un lazo
3. La paradoja del regalo de cumpleaños
En matemáticas existe una paradoja muy curiosa llamada “la paradoja del regalo de cumpleaños”. Esta dice que en una fiesta de cumpleaños con 23 invitados, hay un 50% de probabilidades de que al menos 2 personas lleguen con el mismo regalo.
2. Muchísimo conocimiento en matemáticas
Para el año 1900, todo el conocimiento científico de la humanidad podía guardarse en un total de 80 libros. Hoy en día, las matemáticas se han desarrollado mucho más y con los nuevos aportes, se necesitarían 100.000 libros para la misma tarea.
1. 123456789
111.111.111 x 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321 = Wow!
Formulario de Cálculo Diferencial e Integral
Les comparto un formulario que he ido construyendo durante algunas clases de cálculo, probablemente nos será útil para quinto grado, tambien incluye algunas identidades trigonométricas.
aquí les dejo el link del archivo en word:
MÓDULOS ELÁSTICOS:
Un módulo
elástico es un tipo de constante elástica que relaciona una medida
relacionada con la tensión y una medida relacionada con la deformación.
Los materiales elásticos isotropos quedan caracterizados por un módulo elástico
y un coeficiente elástico (o razón entre dos deformaciones). Es decir, conocido
el valor de uno de los módulos elásticos y del coeficiente de Poisson se pueden determinar los
otros módulos elásticos. Los materiales ortótropos o anisotropos requieren un número de constantes elásticas
mayor.
Las constantes elásticas que reciben el nombre de
módulo elástico son las siguientes:
· Modulo de Youn: se designa usualmente por 
. Está asociado
directamente con los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre,
una varilla, etc. cuando está sometido a la acción de tensiones de tracción o de
compresión. Por esa razón se le llama también módulo elástico longitudinal.
. Está asociado
directamente con los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre,
una varilla, etc. cuando está sometido a la acción de tensiones de tracción o de
compresión. Por esa razón se le llama también módulo elástico longitudinal.
·
Modulo de Compresibilidad: se
designa usualmente por 
. Está asociado con los
cambios de volumen que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos
(generalmente compresores) que actúan perpendicularmente a su superficie. No
implica cambio de forma, tan solo de volumen.
. Está asociado con los
cambios de volumen que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos
(generalmente compresores) que actúan perpendicularmente a su superficie. No
implica cambio de forma, tan solo de volumen.
·
Modulo Elástico Transversal o Cizalla: se designa usualmente por 
. Está asociado con el
cambio de forma que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes No implica cambios de volumen, tan solo de forma.
También se le llama módulo elástico
tangencial y módulo
elástico cortante
. Está asociado con el
cambio de forma que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes No implica cambios de volumen, tan solo de forma.
También se le llama módulo elástico
tangencial y módulo
elástico cortante
En el Sistema Internacional de Unidades, los módulos se expresan en newtons/metro cuadrado
(N/m2) y el coeficiente es adimensional.
MODULO
DE YONG:
El módulo
de Young o módulo de
elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el
comportamiento de un material elástico. según la dirección en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento
fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young.
Para un material elastico lineal e isotropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para
una tracción que para una compresion, siendo una constante
independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo
denominado limite elastico, y es siempre mayor que cero: si
se tracciona una barra, aumenta de longitud.
Tanto el módulo de Young como el límite elástico
son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es
una constante elastica que, al igual que el límite
elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de traccion del material. Además de
este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el modulo de elasticidad transversal de un material.
MODULO DE
COMPRESIBILIDAD:
El módulo
de compresibilidad K de un material mide su
resistencia a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución
unitaria de volumen dada.
El módulo de compresibilidad K se define según la
ecuación
El
inverso del módulo de compresibilidad indica la compresibilidad de un material y se denomina coeficiente de compresibilidad.
|
Substancia
|
Módulo de
compresibilidad
|
|
Aire
|
1,42×105 Pa (módulo de compresibilidad
adiabático)
|
|
Aire
|
1,01×105 Pa (módulo de compresibilidad
isotérmico)
|
|
160×109 Pa
|
|
|
73×109 Pa
|
|
|
88×109 Pa
|
|
|
110×109 Pa
|
|
|
35×109 a
55×109 Pa
|
|
|
Goma (caucho)
|
4,1×109 Pa (aproximado)
|
|
Helio sólido
|
5×107 Pa (aproximado)
|
|
18×109 Pa
|
|
|
50×109 Pa
|
MODULO DE
CIZALLA:
El módulo de elasticidad transversal,
también llamado módulo de cizalladura, es una constante elástica que caracteriza el
cambio de forma que experimenta un material elástico (lineal e isótropo) cuando
se aplican esfuerzos cortantes. Este módulo recibe
una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los siguientes: módulo de rigidez transversal, módulo de corte,módulo de
cortadura, módulo elástico
tangencial, módulo de
elasticidad transversal, y segunda
constante de Lamé.
Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de
elasticidad transversal tiene el mismo valor para todas las direcciones del
espacio. En materiales anisótropos se pueden definir varios módulos de de
elasticidad transversal, y en los materiales elásticos no lineales dicho módulo
no es una constante sino que es una función dependiente del grado de
deformación.
DEFINICION:
Experimentalmente el módulo elástico
transversal (o módulo cortitilatante) puede medirse de varios modos,
conceptualmente la forma más sencilla es considerar un cubo como el de la fig. 1 y someterlo a una fuerza cortante, para pequeñas deformaciones
se puede calcular la razón entre la tensión y la distorsión angular:
GENERAL:
TIPOS DE ESFUERZOS QUE SOPORTAN ESTRUCUTURAS
CARGAS MUERTAS (D)
Son
aquellas cargas que actúan durante toda la vida de la estructura. Incluyen
todos aquellos elementos de la estructura como vigas, pisos, techos, columnas,
cubiertas y los elementos arquitectónicos como ventanas, acabados, divisiones
permanentes. También se denominan cargas permanentes. La principal carga muerta es el peso propio de la estructura. Sus valores se obtienen considerando el peso específico del material de la estructura y el volumen de la estructura.
CARGAS VIVAS (L)
CARGAS DE SISMO (E)
El efecto producido por los movimientos sísmicos en
las estructuras depende de la situación de la edificación con respecto a las
zonas de actividad sísmica en el mundo. Los movimientos del terreno le
transmiten a las construcciones aceleraciones, que producen en las estructuras
reacciones de “inercia”, según la masa y su distribución en la estructura. La
fuerza total de inercia se considera igual al denominado “cortante de base”, el
cual es un porcentaje del peso total de la construcción
CARGAS DE VIENTO (W)
FÍSICA
FUERZA ( VECTORES)
¿Formas de clasificar
las magnitudes físicas? Ejemplos.
R= Por su expresión matemática las
magnitudes físicas se clasifican en Escalares, Vectoriales y Tensoriales. Y por
su actividad se clasifican en magnitudes Extensivas e Intensivas.
La longitud, la masa, el volumen, la
fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancias, son ejemplos de magnitud de
fuerzas.
La longitud de una mesa, la masa de una
moneda, el volumen de un lapicero, son ejemplos de cantidades y para determinar
estas medidas es necesario contar con unidades para cuantificar tales
magnitudes.
Representación de vectores:
R= Un vector posee magnitud, dirección y sentido y se
utiliza para representar las magnitudes vectoriales. Tradicionalmente se
representa con flechas que poseen punto inicial y punto terminal
Se define la
dirección de un vector por la línea de acción de la flecha.
El vector en si se
representa por un segmento de esa línea y mediante el uso de una escala
apropiada puede escogerse la longitud de este segmento para representar la
magnitud del vector.
Dos vectores que
tienen la misma magnitud y la misma línea de acción y firman entre si un ángulo
de 180° se dice que tienen sentidos opuestos.
· * Al diagrama donde
aparece el cuerpo el conjunto de fuerzas se le denomina “Diagrama de Cuerpo
Libre”
Representacion
en coordenadas polarea.
R= Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un angulo y una distancia.
En estos sistemas se establece un sistema de
coordenadas cartesianas y para dar solución
a los problemas se descomponen las fuerzas en sus componentes paralelas a los
ejes X y Y.
Ejemplo:
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o
segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al
eje x del sistema
cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una
unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de
puntos del plano), todo punto P del
plano corresponde a un par ordenado (r,
θ) donde r es la
distancia de P al origen y θ es el ángulo formado
entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorarioy decrece en sentido horario. La
distancia r (r ≥ 0)
se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo
es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es
indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por
(0,0º).
Representación en coordenadas Esféricas.
R= El sistema de coordenadas esféricas se
basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la
posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un
punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio, el angulo polar o colatitud θ y el azimutφ.
Algunos autores
utilizan la latitud. en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2radianes),
siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se
mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en
radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza
un autor determinado.
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