CEREBRO ADOLESCENTE

Matemáticas en el cerebro

Neurobiólogos del laboratorio Andreas Nieder, en la Universidad de Tübingen, han demostrado por primera vez cómo el cerebro procesa reglas matemáticas simples. Los resultados de este trabajo se publican en la edición ‘on line’ de ‘Proceedings of the Nacional Academy of Sciences’ de Estados Unidos, (PNAS), enero 2010.

Para averiguar dónde y cómo las células del cerebro realizan tareas tan complejas, los autores estudiaron a monos rhesus –los que suelen emplearse en experimentos de laboratorio-- ya que, aunque los humanos son los seres que mejor entienden números y reglas, los cimientos de estas habilidades pueden encontrarse en los animales. Los monos aprendieron la regla cuantitativa ‘mayor que’ y ‘menor que’. Además, fueron capaces de elegir, entre varios conjuntos de números cardinales, el mayor y el menor de ellos. Mientras los animales realizaban estas tareas, las neuronas grabaron en la corteza prefrontal del lóbulo frontal los pormenores de esta actividad.

Las células del cerebro únicamente representaron las reglas matemáticas que estaban manejando. Cerca de la mitad de estas neuronas estaban activas sólo cuando el animal seguía la regla ‘mayor que’, mientras que la otra mitad se ponía en acción en el momento en el que era necesario aplicar la norma ‘menor que’.

Los resultados de este estudio han ofrecido valiosos nuevos datos sobre los cimientos neurobiológicos del pensamiento abstracto que son necesarios para realizar operaciones matemáticas. La corteza cerebral, situada en la parte frontal del cerebro, es el principal centro de control cognitivo, participando incluso en las actividades mentales implicadas en el desarrollo de la personalidad.

Según los estudios realizados este sentido inmediato de las cantidades y del número es independiente del lenguaje, la memoria y el razonamiento general. Actualmente hay cada vez más investigadores tratando el tema de los números en el cerebro, donde el trabajo de Dehaene se considera pionero.

Este científico ha pasado años investigando que habilidades matemáticas son innatas y cuales se edifican sobre ellas gracias al desarrollo de la cultura. Según Dehaene todos nacemos con un ancestral instinto matemático, pero para desarrollarlo es necesario que los niños capitalicen este instinto y puedan edificar sobre el. En este sentido algunos países tienen mayor capacidad para estimular a los niños que otros. En Francia y en Estados Unidos, por ejemplo, la enseñanza de la matemática esta en crisis, siendo sumamente pobre en comparación con países como Singapur, Corea del Sur, y Japón.

Susan Carey, profesora de Harvard sostiene que “si queremos asegurarnos que las matemáticas que los niños aprenden en el colegio son significativamente útiles, debemos saber cómo el cerebro maneja y representa los números“.

Desde los primeros meses de nuestra vida poseemos biológicamente un sistema que nos proporciona un conocimiento matemático intuitivo. Los conceptos matemáticos se desarrollan a temprana edad pero sus procesos explicativos se llevan a cabo más tardíamente. Son múltiples los dominios cognitivos implicados en las operaciones matemáticas.

El cortex parietal del hemisferio izquierdo resulta fundamental en multitud de operaciones matemáticas (procesamiento numérico: lectura, cálculo o aritmética), sin embargo, son múltiples los dominios cognitivos que toman parte en las operaciones matemáticas.

Desde que el número es interpretado como tal hasta poder nombrarlo se necesitan diferentes disciplinas, controladas por diferentes regiones cerebrales:

1. Representación visual: entender que lo que estamos viendo es un número.

2. Representación numérica: entender la cantidad que implica cada número.

3. Representación verbal (hemisferio izquierdo): nombre que se le asigna a ese número.

Una simple representación de un número requiere varias zonas del cerebro. Para las operaciones matemáticas hace falta una red muy dispersa de estructuras cerebrales. Los estudios neurocientíficos en este campo ayudan a que los educadores mejoren y adecuen sus estrategias educativas para aprovechar al máximo todas las capacidades de sus alumnos.

En aquellos aspectos del aprendizaje en los que intervienen numerosas áreas cerebrales, es posible que existan diversas estrategias de aprendizaje posibles. El profesor debería intentar identificar las que utiliza un determinado alumno, con objeto de utilizar las estrategias docentes que mejor se acoplen a las de aprendizaje. Son los educadores los que tienen que facilitar al alumno múltiples experiencias con las matemáticas para que así las diferentes redes cerebrales implicadas en el proceso matemático puedan ser potenciadas, por ejemplo, usando juegos de mesa, bloques, etc. Sin embargo, cada alumno posee diferentes estrategias y métodos de aprendizaje, por lo tanto, el profesorado deberá de proporcionar diferentes herramientas que se adecuen a cada alumno.

Es importante subrayar la negativa importancia que antiguamente daba la pedagogía a las matemáticas. Efectivamente, son una herramienta básica para vivir y funcionar en una sociedad moderna pero el fracaso en las matemáticas no supone obligatoriamente el fracaso en otras áreas del conocimiento. Incluso, podemos desarrollar unas capacidades numéricas mejor que otras y, por ejemplo, calcular de memoria con gran rapidez pero no comprender la geometría.

Desde el punto de vista educativo, la aproximación del estudiante a las matemáticas ha de estar basado en modelos que vayan de lo específico a lo general, de lo simple a lo complejo y, partiendo, en la medida de lo posible, de la experiencia.

Es por ello que los docentes deben prestar gran atención a la evaluación que los alumnos van a recibir. Resulta negativo valorar como bueno tan solo las respuestas acertadas y, por el contrario, dar un mal feedback al alumno que no consigue la respuesta exacta. La mejor manera de evaluar un aprendizaje matemático es valorando el progreso y el razonamiento que el alumno ha realizado para llegar a su resultado.

De entre todas las disciplinas es, sin duda, la matemática, una de las que más se ha preocupado por su didáctica. Cómo enseñar matemáticas es una cuestión que ha interesado profundamente a muchos de los grandes matemáticos a lo largo de la historia. Desde que los griegos eligieron las matemáticas como modelo de saber, los esfuerzos por hacernos entender no han dejado de producirse.

La didáctica es la habilidad para enseñar, es elegir la metodología adecuada para cada situación. No es lo mismo dirigirse a unos universitarios que a un empresario que va a comprarte una aplicación informática. Un profesor debe adaptarse. No se puede presentar del mismo modo las ecuaciones en primaria que en secundaria, y es imposible abordar igual las integrales que el cálculo del máximo común divisor. Más aún, no se parece en nada el desarrollo de las funciones lineales en un grupo de 4º de ESO de repetidores (que están deseando cumplir la edad necesaria para abandonar el instituto) que en un grupo encaminado a estudiar ciencias.

Todos, seamos docentes o no, tenemos nuestra forma de enseñar y a casi todos, nuestro método nos parece el mejor, o con más precisión, nos parece el más adecuado para nosotros.

Según Esteban Serrano Marugán , profesor de matemáticas de Secundaria, autor del libro “Ojala no hubiera números! publicado por Editorial Nivela y colaborador en la sección de educación del diario El País, hay dos factores imprescindibles que debieran formar parte de todos los decálogos de didáctica:

• El primero es conocer la materia. Cuanto más se domine lo que queremos enseñar, más recursos metodológicos nos surgirán, más facilidad de expresión tendremos.

• El segundo es intentar ser siempre uno mismo. Los alumnos son muy perspicaces y si ven que estamos forzados van a intentar buscarnos las cosquillas.

Los adolescentes no han cambiado. Ya sea actualmente, o cuando nosotros nos sentábamos en los pupitres, o incluso en siglos pasados, el profesor siempre ha tenido la misma percepción de sus alumnos. Las quejas se han repetido año tras año, generación tras generación: no muestran interés, no hay disciplina, les falta hábito de estudio, no les interesa nada. Y es que es muy difícil (no imposible) que a un adolescente le guste estudiar. En cambio, dos variables que sí han cambiado en la educación:

• Una es la obligatoriedad de la enseñanza hasta los 16 años, lo que trae consigo que haya un alto porcentaje de alumnado que no presenta ningún interés por lo que le ofrecemos y además negándose en redondo a estudiar, ni poco ni mucho, nada.

• Aunque las matemáticas no son solo un juego, es indiscutible que no podemos negar su componente lúdico; incluso en algunas ramas, su peso e importancia son extraordinarios. En la teoría de la probabilidad, en la teoría de juegos, en algunas partes de la geometría, en el campo de la aritmética, el juego desempeña un papel primordial. Esta parte lúdica es un eslabón de enganche riquísimo para nuestros alumnos, es algo así como un reclamo publicitario (no engañoso), una puerta de entrada a este mundo de números, figuras, teoremas y abstracciones.

Las matemáticas reúnen aspectos de una variedad asombrosa: atractivos, bellos, algunos ocultos, unos sencillísimos, otros complicadísimos, paradójicos, extraños y chocantes, evidentes, llenos de lógica..., las matemáticas ofrecen tanta riqueza que la motivación hay que buscarla dentro de la propia matemática. Un problema elegido a propósito, un resultado inesperado, una anécdota, un cálculo rápido y contundente, una paradoja inquietante, pueden ser una magnífica motivación. No hace falta rebuscar fuera de las matemáticas.

Pero debemos ser realistas: ¿cómo se puede conseguir que un alumno disfrute sumando polinomios? De ninguna forma. Llega el momento de mandarles una batería de ejercicios sin intentar malabarismos. También es cierto que una buena nota merecida siempre es una estupenda motivación. No obstante, la mejor motivación del alumno es el convencimiento de que estudiar sería beneficioso para él.

Cuando un alumno ha aprendido que las matemáticas nacieron poco a poco, que los conceptos surgieron después de años y años de maduración, que los grandes matemáticos dieron soluciones erróneas, que dichos errores se subsanaron más tarde, que hay problemas aún sin resolver. Esto ayuda a sentir las matemáticas como algo nuestro, humano. Por otro lado, el rigor de las matemáticas es uno de los valores que más hay que potenciar e inculcar a nuestros alumnos.

Las matemáticas son importantísimas por muchísimos motivos.

• El primero es que las matemáticas son una ciencia. Un conjunto de reglas y conceptos que sirven para resolver problemas reales que han surgido y la humanidad trata de superarlos.

• El segundo motivo es que las matemáticas son el certificado de garantía para todas las demás ciencias. Cualquier resultado de cualquier otra ciencia debe pasar obligatoriamente por la lupa de las matemáticas para verificar su autenticidad. Sería estupendo que los profesores de matemáticas tuviéramos más en cuenta esto e incluyéramos dentro de nuestros intereses al resto de las ciencias.

• El tercer motivo alude a las matemáticas como lenguaje. Un inmenso lenguaje universal con unas reglas muy precisas, resultado de siglos de evolución, con sus signos, sus enunciados, un lenguaje creado para facilitar el razonamiento humano y su transmisión. Paradójicamente nuestros alumnos encuentran en el lenguaje matemático la principal dificultad para entender las matemáticas.

La verdadera importancia de las matemáticas reside, no tanto en sus conceptos, sino en que educan la mente humana, mejorando un buen número de habilidades interesantísimas: capacidad de abstracción, facilidad a la hora de afrontar problemas de todo tipo y resolverlos, capacidad de síntesis, saber encontrar qué es lo principal de una situación, agilidad mental, imaginación, perspicacia, algo de ironía, espíritu crítico, etc.

Una cualidad que debemos tener los profesores es la humildad, en el sentido de que constantemente podemos y debemos aprender más. Siempre es posible encontrar mejores actividades, mejores introducciones, mejores modelos de exámenes. Estudiar nunca está de más y ya se ha dicho, cuando más se domine la materia, más recursos metodológicos y pedagógicos vamos a encontrar.

10 Tips para enseñar matemáticas en secundaria

Les traigo algo que encontré por ahi y creo que a muchos nos servirá;
Se trata de 10 tips para facilitarnos un poco mas la enseñanza matemática:

1. Haz que el contenido sea irresistible
La principal pregunta que surge en un estudiante cansado y desmotivado es: ¿Para qué estudio algo que no voy a utilizar nunca? Tu deber como docente es demostrar para qué les va a servir lo que están aprendiendo y cómo pueden ponerlo en práctica. Con un poco de investigación y planeamiento podemos descubrir cuáles son los temas de actualidad que pueden interesar a los alumnos. Por poner un ejemplo, aprovechando el tema de las olimpiadas se puede introducir el estudio de los ángulos, investigando en qué ángulo debe viajar la jabalina para llegar más lejos. O sea, sacar las matemáticas del libro y aplicarlas a un tema de interés.

2. No premies a tus estudiantes con dulces
(O stickers, o demás tipos de premios) No hay por qué dar la idea de que las matemáticas son tan aburridas que debes motivarlos con un premio. Si sigues el tip número 1 no necesitarás motivarlos con dulces.

3. Crea y promueve el trabajo en equipo
Los alumnos que gustan más de la materia pueden ser de mucha ayuda para explicar y ayudar personalmente a sus compañeros.

4. Calidad antes que cantidad
Es preferible dejar menos trabajos y tareas que tengan mayor importancia en cuanto al aprendizaje y práctica del contenido. Mucho trabajo sin sentido solo logrará cansar al alumno.

5. Enseña y modela el proceso de pensamiento y resolución
Algunas veces podemos caer en el tentación de dar las respuestas, o valorar más al alumno que llega a ellas sin explicar cómo lo hizo. Es más importante que todos sean capaces de lograr un entendimiento del proceso, aunque la respuesta no sea exacta.

6. Menos calificación y más crítica constructiva
Al alumno le sirve más una explicación de en qué se equivocó y cómo puede enmendar el error, que una simple calificación.

7. Invierte la forma de pensar
Un excelente ejemplo de este tip se da con los problemas, en vez de darle 100 problemas para que aprendan a resolverlos, pídeles que creen 10 problemas sacados de situaciones cotidianas personales. Al tener que crear el problema a partir de la solución les será mucho más sencillo entender el proceso.

8. Cuenta cuentos
Los cuentos son una excelente forma de atraer la atención de los alumnos, además sirven de background para cualquier operación matemática, dándole sentido.

9. Programa tutorías semanales a los alumnos menos aventajados antes de las evaluaciones. (ver tip 3)

10. Trabaja con las emociones
Pregunta cómo se sienten sobre la clase de matemáticas, es normal que a algunos les aburra y a otros les guste. Lo importante es escuchar dónde está la mayoría, algunos días puede que estén más cansados y otros días más animados. Tu plan de clase puede adaptarse a sus emociones, si están aburridos, intentar una actividad que les pueda divertir más; si están cansados, poner menos trabajo o aprovechar para poner en práctica el tip 8, etc.

Espero que les sirva para sus hacer sus clases de Matemáticas más divertidas.

ELEGANCIA MATEMATICA

En vista que el profesor de estadística no nos paso las guapas diapositivas, agradezcan que tienen a la mejor amiga del mundo. Les dejo las diapositivas que sin querer encontré.

PROYECTO EDUCATIVO

https://prezi.com/ljfyi9vy5hk9/proyecto-educativo-el-mundo-magico-de-las-matematicas/

Hola chicoss.
Espero se encuentren bien.

Quiero compartir con ustedes un link que me encontré sobre un proyecto educativo para incrementar el aprovechamiento de las matemáticas. Es una presentación no muy explicita, pero tiene varios puntos que me agradaron y podríamos implementar como buenos maestros que somos.
Como es una presentación no la pude descargar y por eso les dejo el enlace.

Saludos a todos.

LAS MATEMÁTICAS Y LA MÚSICA

ANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

CALCULO ULTRARRÁPIDO

La capacidad para efectuar rápidamente operaciones aritméticas mentales parece tener sólo una moderada correlación con la inteligencia general y menor aún con la intuición y creatividad matemáticas. Algunos de los matemáticos más sobresalientes han tenido dificultades al operar, y muchos «calculistas ultrarrápidos» profesionales (aunque no los mejores) han sido torpes en todas las demás capacidades mentales. Sin embargo, algunos grandes matemáticos han sido también diestros calculistas mentales. Carl Friedrich Gauss por ejemplo, podía llevar a cabo prodigiosas hazañas matemáticas en la mente. Le gustaba hacer alarde de que aprendió antes a calcular que a hablar. Se cuenta que en cierta ocasión su padre, de oficio albañil, estaba confeccionando la nómina general de sus empleados, cuando Friedrich, que entonces tenía 3 años, le interrumpió diciéndole: «Papá, la cuenta está mal…». Al volver a sumar la larga lista de números se comprobó que la suma correcta era la indicada por el niño. Nadie le había enseñado nada de aritmética. John von Neumann era un genio matemático que también estuvo dotado de este poder peculiar de computar sin usar lápiz ni papel. Robert Jungk habla en su libro Brighter than a Thousand Suns acerca de una reunión celebrada en Los Álamos, durante la Segunda Guerra Mundial, en la que von Neumann, Enrico Fermi, Edward Teller y Richard Feynman lanzaban continuamente ideas. Siempre que había que efectuar un cálculo matemático, Fermi, Feynman y von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba una regla de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su cabeza. «La cabeza», escribe Jungk (citando a otro físico), «terminaba normalmente la primera, y es notable lo próximas que estaban siempre las tres soluciones».

La capacidad para el cálculo mental de Gauss, von Neumann y otros leones matemáticos como Leonhard Euler y John Wallis puede parecer milagrosa; palidece, sin embargo, ante las hazañas de los calculistas profesionales, una curiosa raza de acróbatas mentales que floreció a lo largo del siglo XIX en Inglaterra, Europa y América. Muchos comenzaron su carrera de niños. Aunque algunos escribieron acerca de sus métodos y fueron examinados por psicólogos, probablemente ocultaron la mayoría de sus secretos, o quizás ni ellos mismos entendían del todo como hacían lo que hacían. Zerah Colburn, nacido en Cabot, Vt., en 1804, fue el primero de los calculistas profesionales. Tenía seis dedos en cada mano y en cada pie, al igual que su padre, su bisabuela y al menos uno de sus hermanos. (Se le amputaron los dedos de sobra cuando tenía alrededor de 10 años. Nos preguntamos si acaso fue eso lo que le alentó en sus primeros esfuerzos por contar y calcular.) El niño aprendió la tabla de multiplicar hasta el 100 antes de que pudiese leer o escribir. Su padre, un pobre granjero, se dio cuenta rápidamente de sus posibilidades comerciales, y cuando el rapaz tenía solamente seis años le llevó de gira por primera vez. Sus actuaciones en Inglaterra, cuando tenía ocho años, están bien documentadas. Podía multiplicar cualesquiera números de cuatro dígitos casi instantáneamente, pero dudaba un momento ante los de cinco. Cuando se le pedía multiplicar 21.734 por 543. decía inmediatamente 11.801.562. Al preguntarle cómo lo había hecho, explicó que 543 es igual a 181 veces 3. Y como era más fácil multiplicar por 181 que por 543, había multiplicado primero 21.734 por 3 y luego el resultado por 181. Washington Irving y otros admiradores del niño recaudaron dinero suficiente para enviarlo a la escuela, primero en París y luego en Londres. No se sabe si sus poderes de cálculo decrecieron con la edad o si perdió el interés por actuar. Lo cierto es que volvió a América cuando tenía 20 años, ejerciendo luego otros diez como misionero metodista. En 1833 publicó en Springfield, Mass., su pintoresca autobiografía titulada A Memoir of Zerah Colburn: written by himself. . . with his peculiar methods of calculation. En el momento de su muerte, a los 35 años, enseñaba lenguas extranjeras en la Universidad de Norwich en Northfield, Vt.

Paralelamente a la carrera profesional de Colburn se desarrolla en Inglaterra la de George Parker Bidder, nacido en 1806 en Devonshire. Se dice que adquirió la destreza en el cálculo aritmético jugando con piedrecitas y botones, porque su padre, un picapedrero, sólo le enseñó a contar. Tenía nueve años cuando se fue de gira con su progenitor. Entre las preguntas que le planteaban los espectadores puede elegirse la que sigue: si la Luna dista 123.256 millas de la Tierra y el sonido viaja a cuatro millas por minuto ¿cuánto tiempo tarda éste en hacer el viaje de la Tierra a la Luna (suponiendo que pudiese)? En menos de un minuto el niño respondía: 21 días, 9 horas y 34 minutos. Cuando se le preguntó (a los 10 años) por la raíz cuadrada de 119.550.669.121, contestó 345.761 en 30 segundos. En 1818, cuando Bidder tenía 12 años y Colburn 14, coincidieron en Derbyshire, donde hubo un cotejo. Colburn da a entender en sus memorias que ganó el concurso, pero los periódicos de Londres concedieron la palma a su oponente. Los profesores de la Universidad de Edimburgo persuadieron al viejo Bidder para que les confiase la educación de su hijo. El joven se desenvolvió bien en la universidad y finalmente llegó a ser uno de los mejores ingenieros de Inglaterra. Los poderes de cálculo de Bidder no decrecieron con la edad. Poco antes de su muerte, acaecida en 1878, alguien citó delante de él que hay 36.918 ondas de luz roja por pulgada. Suponiendo que la velocidad de la luz es de 190.000 millas por segundo, ¿cuántas ondas de luz roja, se preguntaba, llegarán al ojo en un segundo? «No hace falta que lo calcules», dijo Bidder. «El número de vibraciones es 444.433 .651.200.000».

Tal vez haya sido Alexander Craig Aitken el mejor de los calculistas mentales recientes. Profesor de matemáticas de la Universidad de Edimburgo, nació en Nueva Zelanda en 1895 y fue coautor de un libro de texto clásico, The Theory of Canonical Matrices, en 1932. A diferencia de otros calculistas ultrarrápidos, no comenzó a calcular mentalmente hasta la edad de 13 años, siendo el álgebra, no la aritmética, lo que despertó su interés. En 1954, casi 100 años después de la histórica conferencia de Bidder, Aitken pronunció otra en la Sociedad de Ingenieros de Londres sobre el tema «El arte de calcular mentalmente: con demostraciones».

El texto fue publicado en las Transactions de la Sociedad (Diciembre, 1954), con el fin de conservar otro testimonio de primera mano de lo que ocurre dentro de la mente de un calculista mental rápido. Un prerrequisito esencial es la capacidad innata para memorizar números rápidamente. Todos los calculistas profesionales hacen demostraciones de memoria. Cuando Bidder tenía 10 años, pidió a alguien que le escribiera un número de cuarenta dígitos y que se lo leyera. Lo repitió de memoria inmediatamente. Al final de una representación, muchos calculistas eran capaces de repetir exactamente todos los números con los que habían operado.

Hay trucos mnemotécnicos mediante los que los números pueden transformarse en palabras, que a su vez pueden memorizarse por otro método, pero tales técnicas son demasiado lentas para emplearlas en un escenario y no hay duda de que ningún maestro las empleaba. «Nunca he utilizado reglas mnemotécnicas», dijo Aitken, «y recelo profundamente de ellas. No hacen más que perturbar con asociaciones ajenas e irrelevantes una facultad que debe ser pura y límpida». Aitken mencionó en su conferencia haber leído recientemente que el calculista francés contemporáneo Maurice Dagbert había sido culpable de una aterradora pérdida de tiempo y energía» por haber memorizado pi (v.) hasta el decimal 707 (el cálculo había sido hecho por William Shanks en 1873). «Me divierte pensar», dijo Aitken, «que yo lo había hecho algunos años antes que Dagbert y sin encontrar ninguna dificultad. Sólo necesité colocar los digitos en filas de cincuenta, dividir cada una de ellos en grupos de cinco y luego leerlas a un ritmo particular. De no ser tan fácil habría sido una hazaña reprensiblemente inútil». Veinte años después, cuando los computadores modernos calcularon pi con miles de cifras decimales, Aitken se enteró de que el pobre Shanks se había equivocado en los 180 últimos dígitos. «De nuevo me entretuve», continuó Aitken «en aprender el valor correcto hasta el decimal 1000, y tampoco entonces tuve dificultad alguna, excepto que necesitaba ‘reparar’ la unión donde había ocurrido el error de Shanks.

El secreto, a mi entender, es relajarse, la completa antítesis de la concentración tal como normalmente se entiende. El interés es necesario. Una secuencia de números aleatorios, sin significación aritmética o matemática, me repelería. Si fuera necesario memorizarlos, se podría hacer, pero a contrapelo». Aitken interrumpió su conferencia en este punto y recitó pi hasta el dígito 250, de un modo claramente rítmico. Alguien le pidió comenzar en el decimal 301. Cuando había citado cincuenta dígitos se le rogó que saltase al lugar 551 y dar 150 más. Lo hizo sin error, comprobándose los números en una tabla de pi

LAS MATEMÁTICAS Y LA DANZA

Si los profesores nos dedicáramos a enfocar nuestra materia a los gustos de nuestros alumnos, además de captar su atención e incrementar su rendimiento escolar, los haríamos más participativos y los induciríamos a la investigación y la letro-escritura.

Fin de Curso Comunicación Educativa I

La Importancia de las Matemáticas para la Vida

El álgebra en la educación secundaria

El álgebra en la educación secundaria

El álgebra, más que cualquier otra parte de las matemáticas en la educación secundaria, representa la transición entre la aritmética y la geometría elementales de la primaria y las matemáticas de grados superiores. 

Casi todas las matemáticas de la preparatoria y la universidad requieren del lenguaje del álgebra para modelar situaciones y resolver problemas, así como para expresar conceptos y operar con ellos en niveles cada vez más abstractos.

El aprendizaje del álgebra es importante para todos los alumnos y no sólo para aquellos que van a continuar sus estudios en una carrera técnica y universitaria. En nuestros días ha quedado atrás la vieja idea de que aprender a leer y escribir, y un mínimo de conocimientos aritméticos y geométricos, —junto con un adiestramiento para realizar determinadas tareas— permite desempeñar un trabajo o ejercer un oficio. 

La mayoría de los empleos que se crean actualmente requieren de individuos con mayor preparación, capaces de asimilar nueva información y utilizarla para resolver problemas, así como de acceder al uso de nuevos instrumentos y técnicas. 

Aun actividades que se han vuelto tan cotidianas y necesarias para el trabajo, como llenar un formulario o leer un instructivo o manual de operación, necesitan que las personas conozcan y estén familiarizadas con los modos de expresión simbólica y pensamiento abstracto que se desarrollan por medio del estudio del álgebra, como son poder extraer información de cuadros, tablas y gráficas, comprender fórmulas y saber utilizarlas.

Para favorecer el acceso al álgebra, es conveniente que desde el primer grado de la educación secundaria los alumnos se acostumbren de manera gradual a utilizar expresiones con literales, a las primeras reglas sencillas de escritura algebraica y a otros temas que desde la aritmética y la geometría preparan el estudio de esta disciplina. Las actividades deberán enfatizar el uso de situaciones concretas y su representación por medio de tablas y gráficas, para que el alumno explore regulari- dades y patrones y aprenda a expresarlos simbólicamente, sin intentar llegar todavía a la manipulación algebraica de los símbolos. 

La adquisición de las nociones algebraicas toma tiempo para completarse y, además, no todos los alumnos aprenden con la misma facilidad o rapidez. Los programas de segundo y tercer grado están diseñados de manera que el profesor pueda adaptarse a los distintos ritmos de aprendizaje de sus alumnos y ofrecerles la oportunidad de movilizar y enriquecer constantemente los conocimientos vistos con anterioridad, al mismo tiempo que controla el grado de adquisición alcanzado. En el segundo grado,el álgebra comienza con el estudio de las ecuaciones lineales, las regiones y subconjuntos del plano cartesiano, el planteo de problemas que conducen a sistemas sencillos de ecuaciones lineales y su resolución por el método de sustitución, y las primeras operaciones con monomios y polinomios. En el tercer grado se profundiza y completa el estudio de los temas anteriores y se introducen además los temas de productos notables, factorización y ecuaciones cuadráticas, poniendo énfasis en la factorización de polinomios de segundo grado y la solución de ecuaciones cuadráticas por diversos métodos.

Es importante que durante todo el aprendizaje del álgebra los alumnos la utilicen para resolver problemas que doten de sentido a las nociones y procedimientos algebraicos. Estos problemas no sólo deben aparecer después de que se han estudia- do las formas de resolverlos, como aplicaciones de los mismos, sino que deberán estar presentes en todas las fases del aprendizaje, para introducir y facilitar la comprensión de nuevos conocimientos, así como para enriquecer los que se hayan visto con anterioridad.

El álgebra que conocemos es el resultado de un largo proceso de desarrollo, en el cual los historiadores distinguen tres etapas bien diferenciadas: la del álgebra retórica, cuando todavía no existían símbolos algebraicos y tanto los problemas como las ecuaciones se expresaban enteramente en el lenguaje natural; la del álgebra sincopada, en la que el lenguaje natural se combina con el uso de algunos símbolos —por ejemplo, letras para representar las incógnitas—; y la etapa del álgebra simbólica que utilizamos hoy en día, cuando el lenguaje algebraico se ha vuelto autónomo en relación al lenguaje natural y tiene sus propias reglas de sintaxis. En la etapa retórica, el problema, las ecuaciones y sus soluciones se expresaban en lenguajes práctica- mente indistinguibles; con la evolución del álgebra terminaron por expresarse en lenguajes distintos. Las notaciones y el lenguaje simbólico del álgebra constituyen uno de los grandes logros de las matemáticas y son un instrumento imprescindible para el pensamiento abstracto y la solución de problemas. Tanto es así que en el siglo XVIII y a principios del XIX se pensó que todas las matemáticas y sus aplicaciones podían vertirse en el álgebra.

Los alumnos tienen dificultades para dominar este lenguaje simbólico. Es común que al principio se desconcierten por el uso de literales y que, un poco más tarde, desarrollen formas de expresión y solución de problemas donde se mezclan el lenguaje natural con el uso, no siempre correcto, de expresiones simbólicas. Por ello, el profesor deberá plantear actividades que los ayuden a rebasar paulatinamente estas etapas del aprendizaje y, al mismo tiempo, les comuniquen la importancia que tiene pasar de una situación o enunciado a su expresión simbólica y operar con ella. 


Libro para el maestro
Matemáticas Secundaria

Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública 

link para descargar libro completo

¿Conocías estos 10 curiosos hechos sobre las matemáticas?

Las matemáticas lo son todo. Ciencia fundamental, compleja, diversa y sencillamente fascinante. Te gusten las matemáticas o no, no puedes negar estas afirmaciones. Pero hoy no vamos a dedicarnos a hablar sobre la importancia de esta ciencia, 10 hechos curiosos de las matemáticas que quizá no conocías y probablemente te sorprendan. 

10. Lleva goma de mascar a tu próximo examen de matemáticas

Según se ha observado globalmente, aquellos estudiantes que durante una prueba o un examen de matemáticas mastican goma de mascar son los que consiguen mejores calificaciones. Así lo determinó un largo estudio desarrollado por un grupo de investigadores de la Louisiana State University.

9. Los antiguos babilonios, genios matemáticos

Los antiguos babilonios, verdaderos genios en matemáticas, desarrollaron susestudios matemáticos en base 60 en lugar de base 10. Por esta razón, un minuto tiene 60 segundos y un círculo tiene 360°.

8. Multiplicación capicúa

1089 x 9 = 9801

7. Pizza

Si tienes una pizza con un radio Z y una altura A, su volumen será: PI*Z*Z*A.

6. 2520 y su perfecta división

2520 es el número más pequeño que puede ser dividido en forma exacta por los números del 1 al 10.

5. ¡100! ¿100?

• 123 - 45 - 67 + 89 = 100.
• 123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100.
• 123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100.
• 1 + 23 - 4 + 5 + 6 + 78 - 9 = 100.

4. ¿Cómo atar un lazo?

Según los matemáticos, existe un total de 177.147 formas distintas de atar un lazo

3. La paradoja del regalo de cumpleaños

En matemáticas existe una paradoja muy curiosa llamada “la paradoja del regalo de cumpleaños”. Esta dice que en una fiesta de cumpleaños con 23 invitados, hay un 50% de probabilidades de que al menos 2 personas lleguen con el mismo regalo.

2. Muchísimo conocimiento en matemáticas

Para el año 1900, todo el conocimiento científico de la humanidad podía guardarse en un total de 80 libros. Hoy en día, las matemáticas se han desarrollado mucho más y con los nuevos aportes, se necesitarían 100.000 libros para la misma tarea. 

1. 123456789

111.111.111 x 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321 = Wow!

Formulario de Cálculo Diferencial e Integral

Les comparto un formulario que he ido construyendo durante algunas clases de cálculo, probablemente nos será útil para quinto grado,  tambien incluye algunas identidades trigonométricas.

aquí les dejo el link del archivo en word:

link: Formulario de cálculo

MÓDULOS ELÁSTICOS:

Un módulo elástico es un tipo de constante elástica que relaciona una medida relacionada con la tensión y una medida relacionada con la deformación.

Los materiales elásticos isotropos quedan caracterizados por un módulo elástico y un coeficiente elástico (o razón entre dos deformaciones). Es decir, conocido el valor de uno de los módulos elásticos y del coeficiente de Poisson se pueden determinar los otros módulos elásticos. Los materiales ortótropos o anisotropos requieren un número de constantes elásticas mayor.

Las constantes elásticas que reciben el nombre de módulo elástico son las siguientes:

·         Modulo de Youn: se designa usualmente por . Está asociado directamente con los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc. cuando está sometido a la acción de tensiones de tracción o de compresión. Por esa razón se le llama también módulo elástico longitudinal.

·         Modulo de Compresibilidad: se designa usualmente por . Está asociado con los cambios de volumen que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos (generalmente compresores) que actúan perpendicularmente a su superficie. No implica cambio de forma, tan solo de volumen.

·         Modulo Elástico Transversal o Cizalla: se designa usualmente por . Está asociado con el cambio de forma que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes No implica cambios de volumen, tan solo de forma. También se le llama módulo elástico tangencial y módulo elástico cortante

En el Sistema Internacional de Unidades, los módulos se expresan en newtons/metro cuadrado (N/m²) y el coeficiente es adimensional.

MODULO DE YONG:

El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico. según la dirección en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young.

Para un material elastico lineal e isotropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresion, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado limite elastico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elastica  que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de traccion del material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el modulo de elasticidad transversal de un material.

MODULO DE COMPRESIBILIDAD:

El módulo de compresibilidad K de un material mide su resistencia a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión  requerido para causar una disminución unitaria de volumen  dada.

El módulo de compresibilidad K se define según la ecuación

El inverso del módulo de compresibilidad indica la compresibilidad de un material y se denomina coeficiente de compresibilidad.

Substancia	Módulo de compresibilidad
Agua	2,2×109 Pa (este valor aumenta a mayores presiones)
Aire	1,42×105 Pa (módulo de compresibilidad adiabático)
Aire	1,01×105 Pa (módulo de compresibilidad isotérmico)
Acero	160×109 Pa
Aluminio	73×109 Pa
Bronce	88×109 Pa
Cobre	110×109 Pa
Cristal	35×109 a 55×109 Pa
Diamante	442×109 Pa1
Goma (caucho)	4,1×109 Pa (aproximado)
Helio sólido	5×107 Pa (aproximado)
Níquel	18×109 Pa
Plomo	50×109 Pa

MODULO DE CIZALLA:

El módulo de elasticidad transversal, también llamado módulo de cizalladura, es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un material elástico (lineal e isótropo) cuando se aplican esfuerzos cortantes. Este módulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los siguientes: módulo de rigidez transversal, módulo de corte,módulo de cortadura, módulo elástico tangencial, módulo de elasticidad transversal, y segunda constante de Lamé.

Para un material elástico lineal  e isótropo, el módulo de elasticidad transversal tiene el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En materiales anisótropos se pueden definir varios módulos de de elasticidad transversal, y en los materiales elásticos no lineales dicho módulo no es una constante sino que es una función dependiente del grado de deformación.

DEFINICION:

Experimentalmente el módulo elástico transversal (o módulo cortitilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma más sencilla es considerar un cubo como el de la fig. 1 y someterlo a una fuerza cortante, para pequeñas deformaciones se puede calcular la razón entre la tensión y la distorsión angular:

GENERAL: